Страница 347 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

1324 Начертите окружность с центром С и произвольным радиусом r и постройте фигуру, в которую переходит эта окружность при гомотетии с центром в точке О и коэффициентом k, если: а) О принадлежит данной окружности, k = 12; б) О принадлежит данной окружности, k = – 12; в) О не принадлежит данной окружности, k = 3.

а) O принадлежит данной окружности, $k = \frac{1}{2}$
Построение:
1. Начертим окружность с центром в точке $C$ и произвольным радиусом $r$.
2. Выберем на этой окружности произвольную точку $O$, которая будет центром гомотетии. Расстояние от центра окружности $C$ до точки $O$ равно радиусу: $OC = r$.
3. Найдем центр $C'$ искомой окружности. По определению гомотетии, образ точки $C$ есть точка $C'$, такая что вектор $\vec{OC'} = k \cdot \vec{OC}$. Поскольку $k = \frac{1}{2}$, имеем $\vec{OC'} = \frac{1}{2} \vec{OC}$. Это означает, что точка $C'$ является серединой отрезка $OC$.
4. Найдем радиус $r'$ новой окружности по формуле $r' = |k| \cdot r$. Подставляя $k = \frac{1}{2}$, получаем $r' = |\frac{1}{2}| \cdot r = \frac{1}{2}r$.
5. Строим новую окружность с центром в точке $C'$ и радиусом $r' = \frac{1}{2}r$.

Полученная окружность проходит через центр гомотетии $O$ (так как расстояние от ее центра $C'$ до точки $O$ равно $OC' = \frac{1}{2}r$, что равно новому радиусу $r'$) и через центр исходной окружности $C$ (так как расстояние от $C'$ до $C$ также равно $CC' = \frac{1}{2}OC = \frac{1}{2}r$). Следовательно, отрезок $OC$ является диаметром новой окружности.

Ответ: Фигура, в которую переходит данная окружность, — это другая окружность с радиусом $r' = \frac{1}{2}r$, центр которой $C'$ является серединой радиуса $OC$ исходной окружности. Диаметром новой окружности является отрезок $OC$.

б) O принадлежит данной окружности, $k = -\frac{1}{2}$
Построение:
1. Начертим окружность с центром в точке $C$ и произвольным радиусом $r$.
2. Выберем на этой окружности произвольную точку $O$, которая будет центром гомотетии. $OC = r$.
3. Проведем прямую через точки $O$ и $C$.
4. Найдем центр $C'$ искомой окружности из векторного равенства $\vec{OC'} = k \cdot \vec{OC}$. Поскольку $k = -\frac{1}{2}$, имеем $\vec{OC'} = -\frac{1}{2} \vec{OC}$. Это означает, что точка $C'$ лежит на прямой $OC$ на расстоянии $OC' = \frac{1}{2}r$ от точки $O$, но с противоположной стороны от точки $C$ (точка $O$ находится между $C$ и $C'$).
5. Найдем радиус $r'$ новой окружности: $r' = |k| \cdot r = |-\frac{1}{2}| \cdot r = \frac{1}{2}r$.
6. Строим новую окружность с центром в точке $C'$ и радиусом $r' = \frac{1}{2}r$.

Поскольку центр гомотетии $O$ лежит на исходной окружности, его образ при гомотетии совпадает с ним самим ($O' = O$), а значит, точка $O$ принадлежит и новой окружности. Проверим касание окружностей. Расстояние между центрами $C$ и $C'$ равно $CC' = CO + OC' = r + \frac{1}{2}r = \frac{3}{2}r$. Сумма радиусов двух окружностей равна $r + r' = r + \frac{1}{2}r = \frac{3}{2}r$. Так как расстояние между центрами равно сумме радиусов, окружности касаются внешним образом. Точка касания лежит на линии центров, то есть это точка $O$.

Ответ: Фигура, в которую переходит данная окружность, — это другая окружность с радиусом $r' = \frac{1}{2}r$. Ее центр $C'$ лежит на прямой $OC$ так, что $O$ является серединой отрезка $CC''$, где $C''$ — точка на отрезке $OC$ такая что $OC''=OC'$. Исходная и полученная окружности касаются друг друга внешним образом в точке $O$.

в) O не принадлежит данной окружности, $k = 3$
Построение:
1. Начертим окружность с центром в точке $C$ и произвольным радиусом $r$.
2. Выберем точку $O$ (центр гомотетии) вне данной окружности (для наглядности, хотя она может быть и внутри).
3. Проведем луч $OC$.
4. Найдем центр $C'$ искомой окружности из условия $\vec{OC'} = k \cdot \vec{OC}$. Так как $k=3$, то $\vec{OC'} = 3 \vec{OC}$. Это означает, что точка $C'$ лежит на луче $OC$, и ее расстояние от $O$ в три раза больше расстояния от $O$ до $C$ ($OC' = 3 \cdot OC$).
5. Найдем радиус $r'$ новой окружности: $r' = |k| \cdot r = |3| \cdot r = 3r$.
6. Строим новую окружность с центром в точке $C'$ и радиусом $r' = 3r$.

Так как коэффициент гомотетии $k=3 > 1$ и центр гомотетии $O$ находится вне исходной окружности, исходная окружность будет полностью лежать внутри построенной окружности.

Ответ: Фигура, в которую переходит данная окружность, — это другая окружность с радиусом $r' = 3r$, центр которой $C'$ лежит на луче $OC$ на расстоянии $OC' = 3 \cdot OC$ от точки $O$. Исходная окружность лежит внутри построенной.