Страница 345 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

1312 Отметьте точку О и начертите окружность произвольного радиуса r с центром в точке С, отличной от точки О. Постройте окружность, в которую переходит данная окружность при гомотетии с центром в точке О и коэффициентом k, если: а) k = –1; б) k = 1,5; в) k = 3.

Для решения задачи сначала отметим на плоскости две различные точки: центр гомотетии $O$ и центр исходной окружности $C$. Затем начертим окружность с центром в точке $C$ и произвольным радиусом $r$.

Гомотетия с центром $O$ и коэффициентом $k$ является преобразованием, которое переводит данную окружность в другую окружность. Для построения образа окружности необходимо найти образ ее центра и ее новый радиус.

Центр $C'$ новой окружности является образом центра $C$ исходной окружности при данной гомотетии. Его положение определяется векторным равенством $\vec{OC'} = k \cdot \vec{OC}$.

Радиус $r'$ новой окружности вычисляется по формуле $r' = |k| \cdot r$.

Рассмотрим каждый случай.

а) $k = -1$

1. Находим положение нового центра $C'$. Используем формулу $\vec{OC'} = k \cdot \vec{OC}$. При $k=-1$ получаем $\vec{OC'} = -1 \cdot \vec{OC} = -\vec{OC}$. Это векторное равенство означает, что точка $C'$ лежит на прямой, проходящей через $O$ и $C$, но с другой стороны от точки $O$ по отношению к точке $C$. При этом расстояние $OC'$ равно расстоянию $OC$. То есть, точка $O$ является серединой отрезка $CC'$. Данное преобразование является центральной симметрией относительно точки $O$.

2. Находим новый радиус $r'$. По формуле $r' = |k| \cdot r$ получаем $r' = |-1| \cdot r = r$. Радиус окружности не изменяется.

3. Построение. Соединяем точки $O$ и $C$ прямой. На продолжении отрезка $CO$ за точку $O$ откладываем отрезок $OC'$, равный $OC$. Полученная точка $C'$ будет центром новой окружности. Из точки $C'$ проводим окружность с тем же радиусом $r$.

Ответ: Искомая окружность имеет центр в точке $C'$, симметричной точке $C$ относительно центра гомотетии $O$, и радиус, равный исходному радиусу $r$.

б) $k = 1,5$

1. Находим положение нового центра $C'$. Используем формулу $\vec{OC'} = k \cdot \vec{OC}$. При $k=1,5$ получаем $\vec{OC'} = 1,5 \cdot \vec{OC}$. Так как коэффициент $k > 0$, точка $C'$ лежит на луче $OC$. Расстояние от центра гомотетии $O$ до нового центра $C'$ в 1,5 раза больше расстояния $OC$, то есть $OC' = 1,5 \cdot OC$.

2. Находим новый радиус $r'$. По формуле $r' = |k| \cdot r$ получаем $r' = |1,5| \cdot r = 1,5r$. Радиус новой окружности в 1,5 раза больше исходного.

3. Построение. Проводим луч $OC$. На этом луче от точки $O$ откладываем отрезок $OC'$, длина которого в 1,5 раза больше длины отрезка $OC$. Полученная точка $C'$ будет центром новой окружности. Из точки $C'$ проводим окружность с радиусом $r' = 1,5r$.

Ответ: Искомая окружность имеет центр в точке $C'$, лежащей на луче $OC$ на расстоянии $OC' = 1,5 \cdot OC$ от точки $O$, и радиус $r' = 1,5r$.

в) $k = 3$

1. Находим положение нового центра $C'$. Используем формулу $\vec{OC'} = k \cdot \vec{OC}$. При $k=3$ получаем $\vec{OC'} = 3 \cdot \vec{OC}$. Так как коэффициент $k > 0$, точка $C'$ лежит на луче $OC$. Расстояние от центра гомотетии $O$ до нового центра $C'$ в 3 раза больше расстояния $OC$, то есть $OC' = 3 \cdot OC$.

2. Находим новый радиус $r'$. По формуле $r' = |k| \cdot r$ получаем $r' = |3| \cdot r = 3r$. Радиус новой окружности в 3 раза больше исходного.

3. Построение. Проводим луч $OC$. На этом луче от точки $O$ откладываем отрезок $OC'$, длина которого в 3 раза больше длины отрезка $OC$. Полученная точка $C'$ будет центром новой окружности. Из точки $C'$ проводим окружность с радиусом $r' = 3r$.

Ответ: Искомая окружность имеет центр в точке $C'$, лежащей на луче $OC$ на расстоянии $OC' = 3 \cdot OC$ от точки $O$, и радиус $r' = 3r$.

1313 Перечертите рисунок 401, а–г в тетрадь и постройте треугольники, в которые переходят данные треугольники, при гомотетии с данным центром и коэффициентом: а) △ABC, центр гомотетии О, k=3; б) △XYZ, центр гомотетии Z, $k=\frac{1}{2};$ в) △PQR, центр гомотетии P, k=–2; г) △LMN, центр гомотетии E — середина отрезка LM, $k=-\frac{1}{2}.$

а) Гомотетия с центром в точке $O$ и коэффициентом $k$ — это преобразование плоскости, при котором каждая точка $M$ переходит в такую точку $M'$, что выполняется векторное равенство $\vec{OM'} = k \cdot \vec{OM}$. Для построения образа фигуры необходимо построить образы ее вершин. Если точка $M$ имеет координаты $(x, y)$, а центр гомотетии $O$ — координаты $(x_0, y_0)$, то координаты ее образа $M'(x', y')$ вычисляются по формулам:
$x' = k(x - x_0) + x_0$
$y' = k(y - y_0) + y_0$

В данной задаче для треугольника $\triangle ABC$ центр гомотетии — точка $O$, а коэффициент $k = 3$.
Примем, что одна клетка сетки соответствует единице длины. Определим координаты вершин треугольника и центра гомотетии по рисунку: $A(0, 1)$, $B(2, 3)$, $C(4, 1)$ и центр $O(2, 2)$.
Найдем координаты вершин $A'$, $B'$, $C'$ треугольника $\triangle A'B'C'$, который является образом треугольника $\triangle ABC$ при данной гомотетии.
Для вершины $A(0, 1)$:
$x_{A'} = 3(0 - 2) + 2 = -6 + 2 = -4$
$y_{A'} = 3(1 - 2) + 2 = -3 + 2 = -1$
Таким образом, $A'(-4, -1)$.
Для вершины $B(2, 3)$:
$x_{B'} = 3(2 - 2) + 2 = 0 + 2 = 2$
$y_{B'} = 3(3 - 2) + 2 = 3 + 2 = 5$
Таким образом, $B'(2, 5)$.
Для вершины $C(4, 1)$:
$x_{C'} = 3(4 - 2) + 2 = 6 + 2 = 8$
$y_{C'} = 3(1 - 2) + 2 = -3 + 2 = -1$
Таким образом, $C'(8, -1)$.
Для построения треугольника $\triangle A'B'C'$ необходимо провести лучи $OA$, $OB$, $OC$ и отложить на них отрезки $OA' = 3 \cdot OA$, $OB' = 3 \cdot OB$, $OC' = 3 \cdot OC$. Затем соединить точки $A'$, $B'$, $C'$.\\Ответ: Искомый треугольник $\triangle A'B'C'$ имеет вершины с координатами $A'(-4, -1)$, $B'(2, 5)$, $C'(8, -1)$.

б) В данном случае необходимо построить образ треугольника $\triangle XYZ$ при гомотетии с центром в вершине $Z$ и коэффициентом $k = \frac{1}{2}$.
Координаты вершин треугольника: $X(1, 3)$, $Y(4, 0)$, $Z(5, 4)$. Центр гомотетии — точка $Z(5, 4)$.
Найдем образы вершин $X$ и $Y$. Вершина $Z$, являясь центром гомотетии, переходит сама в себя, то есть $Z' = Z$.
Для вершины $X(1, 3)$:
$x_{X'} = \frac{1}{2}(1 - 5) + 5 = \frac{1}{2}(-4) + 5 = -2 + 5 = 3$
$y_{X'} = \frac{1}{2}(3 - 4) + 5 = \frac{1}{2}(-1) + 4 = -0.5 + 4 = 3.5$
Таким образом, $X'(3, 3.5)$.
Для вершины $Y(4, 0)$:
$x_{Y'} = \frac{1}{2}(4 - 5) + 5 = \frac{1}{2}(-1) + 5 = -0.5 + 5 = 4.5$
$y_{Y'} = \frac{1}{2}(0 - 4) + 4 = \frac{1}{2}(-4) + 4 = -2 + 4 = 2$
Таким образом, $Y'(4.5, 2)$.
Так как $k=1/2$, точки $X'$ и $Y'$ являются серединами отрезков $ZX$ и $ZY$ соответственно. Треугольник $\triangle X'Y'Z$ подобен треугольнику $\triangle XYZ$.
Ответ: Искомый треугольник $\triangle X'Y'Z$ имеет вершины с координатами $X'(3, 3.5)$, $Y'(4.5, 2)$, $Z'(5, 4)$.

в) Необходимо построить образ треугольника $\triangle PQR$ при гомотетии с центром в вершине $P$ и коэффициентом $k = -2$.
Координаты вершин треугольника: $P(0, 3)$, $Q(1, 1)$, $R(5, 1)$. Центр гомотетии — точка $P(0, 3)$.
Так как центр гомотетии совпадает с вершиной $P$, то $P' = P$. Найдем образы вершин $Q$ и $R$. Поскольку коэффициент $k$ отрицателен, образы точек будут лежать на лучах, противоположных лучам $PQ$ и $PR$.
Для вершины $Q(1, 1)$:
$x_{Q'} = -2(1 - 0) + 0 = -2$
$y_{Q'} = -2(1 - 3) + 3 = -2(-2) + 3 = 4 + 3 = 7$
Таким образом, $Q'(-2, 7)$.
Для вершины $R(5, 1)$:
$x_{R'} = -2(5 - 0) + 0 = -10$
$y_{R'} = -2(1 - 3) + 3 = -2(-2) + 3 = 4 + 3 = 7$
Таким образом, $R'(-10, 7)$.
Геометрически, для построения точки $Q'$ нужно продлить отрезок $QP$ за точку $P$ на расстояние, равное $QP$. Аналогично для точки $R'$.
Ответ: Искомый треугольник $\triangle P'Q'R'$ имеет вершины с координатами $P'(0, 3)$, $Q'(-2, 7)$, $R'(-10, 7)$.

г) Необходимо построить образ треугольника $\triangle LMN$ при гомотетии с центром в точке $E$ и коэффициентом $k = -\frac{1}{2}$. В условии задачи указано, что "центр гомотетии E — середина отрезка LM". Однако на рисунке точка E расположена на отрезке LN и является его серединой. Расчетная середина отрезка LM имеет координаты $(1, 2.5)$, что не соответствует рисунку. Будем считать, что в условии опечатка, и центр гомотетии — это точка E, указанная на рисунке, то есть середина отрезка LN.
Координаты вершин треугольника: $L(1, 1)$, $M(1, 4)$, $N(5, 1)$.
Найдем координаты центра гомотетии $E$ как середины отрезка $LN$:
$x_E = \frac{1 + 5}{2} = 3$
$y_E = \frac{1 + 1}{2} = 1$
Центр гомотетии — $E(3, 1)$.
Найдем образы вершин $L, M, N$.
Для вершины $L(1, 1)$:
$x_{L'} = -\frac{1}{2}(1 - 3) + 3 = -\frac{1}{2}(-2) + 3 = 1 + 3 = 4$
$y_{L'} = -\frac{1}{2}(1 - 1) + 1 = 0 + 1 = 1$
Таким образом, $L'(4, 1)$.
Для вершины $M(1, 4)$:
$x_{M'} = -\frac{1}{2}(1 - 3) + 3 = -\frac{1}{2}(-2) + 3 = 1 + 3 = 4$
$y_{M'} = -\frac{1}{2}(4 - 1) + 1 = -\frac{3}{2} + 1 = -1.5 + 1 = -0.5$
Таким образом, $M'(4, -0.5)$.
Для вершины $N(5, 1)$:
$x_{N'} = -\frac{1}{2}(5 - 3) + 3 = -\frac{1}{2}(2) + 3 = -1 + 3 = 2$
$y_{N'} = -\frac{1}{2}(1 - 1) + 1 = 0 + 1 = 1$
Таким образом, $N'(2, 1)$.
Ответ: Искомый треугольник $\triangle L'M'N'$ имеет вершины с координатами $L'(4, 1)$, $M'(4, -0.5)$, $N'(2, 1)$.

1314 Перечертите фигуры, изображённые на рисунках 402, а–г, в тетрадь и постройте фигуры, в которые они переходят при гомотетии с центром в точке А и k=2.

Для решения задачи необходимо применить преобразование гомотетии с центром в точке A и коэффициентом $k=2$ к каждой из заданных фигур. Гомотетия с центром A и коэффициентом $k$ — это преобразование плоскости, при котором каждая точка M переходит в такую точку M', что выполняется векторное равенство $\vec{AM'} = k \cdot \vec{AM}$.

Поскольку $k=2 > 0$, для любой точки M её образ M' будет лежать на луче AM, а расстояние от центра гомотетии до образа точки будет в 2 раза больше, чем до исходной точки: $AM' = 2 \cdot AM$.

Фигура является трапецией, а центр гомотетии A находится внутри неё. Чтобы построить образ трапеции, необходимо построить образы её четырёх вершин.

1. Обозначим вершины трапеции буквами P?, P?, P?, P?.

2. Для каждой вершины P? проводим луч, исходящий из точки A и проходящий через точку P?.

3. На каждом луче AP? от точки A откладываем отрезок AP'?, длина которого вдвое больше длины отрезка AP?. То есть, $AP'_1 = 2 \cdot AP_1$, $AP'_2 = 2 \cdot AP_2$ и так далее.

4. Полученные точки P'?, P'?, P'?, P'? соединяем отрезками в том же порядке, что и вершины исходной трапеции.

Получившаяся фигура будет трапецией, подобной исходной. Её стороны будут параллельны соответствующим сторонам исходной трапеции и в два раза длиннее.

Ответ: Искомая фигура — трапеция, подобная исходной с коэффициентом 2. Все её линейные размеры в 2 раза больше, чем у исходной трапеции, и она будет расположена так, что центр A останется в том же относительном положении внутри неё.

Фигура является окружностью. При гомотетии окружность переходит в окружность.

1. Находим центр исходной окружности, обозначим его точкой O, и измеряем её радиус r. На рисунке радиус равен 1,5 клеткам.

2. Строим образ центра O. Для этого проводим луч AO и на нём находим точку O' так, что расстояние $AO' = 2 \cdot AO$. Точка O' будет центром новой окружности.

3. Вычисляем радиус новой окружности r'. Он будет равен произведению модуля коэффициента гомотетии на радиус исходной окружности: $r' = |k| \cdot r = 2r$. В данном случае $r' = 2 \cdot 1.5 = 3$ клетки.

4. Строим новую окружность с центром в точке O' и радиусом r' = 3 клетки.

Ответ: Искомая фигура — окружность, радиус которой в 2 раза больше радиуса исходной (равен 3 клеткам). Центр новой окружности смещён относительно центра исходной по правилу гомотетии с центром A.

Фигура представляет собой восьмиугольник с элементами "лица" внутри. Необходимо применить гомотетию ко всем точкам фигуры.

1. Восьмиугольник: Строим образ восьмиугольника, находя образы всех его восьми вершин по правилу гомотетии, как в пункте а). Для каждой вершины P? находим её образ P'? на луче AP? так, что $AP'? = 2 \cdot AP_i$. Затем соединяем полученные вершины P'?, P'?, ..., P'?.

2. Глаза: Глаза — это две точки. Находим их образы E'? и E'? аналогично, откладывая на лучах AE? и AE? удвоенные расстояния.

3. Рот: Рот — это дуга окружности. Её образ также будет дугой окружности. Для её построения можно найти образы её конечных точек и, например, средней точки. Либо можно найти образ центра окружности, частью которой является дуга, и удвоить её радиус. Затем провести новую дугу между образами конечных точек.

В результате все элементы фигуры увеличатся в 2 раза и сместятся от центра A.

Ответ: Искомая фигура — восьмиугольник с "лицом", подобный исходной фигуре с коэффициентом 2. Все его линейные размеры в 2 раза больше, а форма сохранена.

Фигура является параллелограммом, причём центр гомотетии A совпадает с одной из его вершин.

1. Точка, совпадающая с центром гомотетии, при преобразовании остаётся на месте. Таким образом, образ вершины A — это сама точка A (A' = A).

2. Обозначим другие вершины параллелограмма B, C и D. Находим их образы B', C', D'.

3. Находим образ B'. Для этого строим луч AB и откладываем на нём точку B' так, что $AB' = 2 \cdot AB$.

4. Аналогично находим образ D'. Строим луч AD и откладываем на нём точку D' так, что $AD' = 2 \cdot AD$.

5. Образ последней вершины C' можно найти, отложив на луче AC отрезок $AC' = 2 \cdot AC$. Либо можно достроить параллелограмм по трём известным вершинам A, B', D'.

6. Соединяем точки A, B', C', D' и получаем искомый параллелограмм.

Ответ: Искомая фигура — параллелограмм, подобный исходному. Он имеет общую вершину A с исходным параллелограммом, а его стороны, выходящие из этой вершины, в два раза длиннее и лежат на тех же прямых, что и соответствующие стороны исходного параллелограмма.

1315 Докажите, что при гомотетии угол переходит в равный ему угол.

Пусть задан угол $\angle BAC$ с вершиной в точке $A$ и сторонами-лучами $AB$ и $AC$. Пусть $H$ — гомотетия с центром $O$ и коэффициентом $k \neq 0$. При этой гомотетии точки $A, B, C$ переходят в точки $A', B', C'$ соответственно. Образом угла $\angle BAC$ является угол $\angle B'A'C'$.

Величина угла между двумя лучами определяется как угол между их направляющими векторами. Угол $\alpha = \angle BAC$ — это угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$. Косинус этого угла выражается через скалярное произведение векторов: $$ \cos(\alpha) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|} $$

Аналогично, угол $\alpha' = \angle B'A'C'$ — это угол между векторами $\vec{A'B'}$ и $\vec{A'C'}$. Его косинус равен: $$ \cos(\alpha') = \frac{\vec{A'B'} \cdot \vec{A'C'}}{|\vec{A'B'}| \cdot |\vec{A'C'}|} $$

По определению гомотетии, $\vec{OA'} = k \cdot \vec{OA}$, $\vec{OB'} = k \cdot \vec{OB}$, $\vec{OC'} = k \cdot \vec{OC}$. Выразим векторы сторон нового угла через векторы сторон исходного:
$\vec{A'B'} = \vec{OB'} - \vec{OA'} = k \cdot \vec{OB} - k \cdot \vec{OA} = k(\vec{OB} - \vec{OA}) = k \cdot \vec{AB}$
$\vec{A'C'} = \vec{OC'} - \vec{OA'} = k \cdot \vec{OC} - k \cdot \vec{OA} = k(\vec{OC} - \vec{OA}) = k \cdot \vec{AC}$

Теперь подставим эти выражения в формулу для косинуса угла $\alpha'$: $$ \cos(\alpha') = \frac{(k \cdot \vec{AB}) \cdot (k \cdot \vec{AC})}{|k \cdot \vec{AB}| \cdot |k \cdot \vec{AC}|} $$

Используя свойства скалярного произведения $(\lambda \vec{u}) \cdot (\mu \vec{v}) = \lambda\mu (\vec{u} \cdot \vec{v})$ и модуля вектора $|\lambda \vec{u}| = |\lambda| |\vec{u}|$, получаем: $$ \cos(\alpha') = \frac{k^2 (\vec{AB} \cdot \vec{AC})}{|k| \cdot |\vec{AB}| \cdot |k| \cdot |\vec{AC}|} = \frac{k^2 (\vec{AB} \cdot \vec{AC})}{|k|^2 \cdot |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|} $$

Поскольку $k \neq 0$, то $|k|^2 = k^2$. Сократив дробь на $k^2$, получим: $$ \cos(\alpha') = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|} $$

Сравнивая полученное выражение с выражением для $\cos(\alpha)$, видим, что $\cos(\alpha') = \cos(\alpha)$.

Так как величина геометрического угла находится в пределах от $0^\circ$ до $180^\circ$ (или от $0$ до $\pi$ радиан), а на этом интервале функция косинуса является инъективной (каждому значению косинуса соответствует единственное значение угла), из равенства косинусов следует равенство самих углов: $$ \alpha' = \alpha $$ то есть, $\angle B'A'C' = \angle BAC$.

Таким образом, доказано, что при гомотетии угол переходит в равный ему угол.

Ответ: Доказано, что при гомотетии угол переходит в равный ему угол.

1316 Докажите, что каждая фигура подобна себе самой.

Согласно определению, две фигуры называются подобными, если существует преобразование подобия, которое отображает одну фигуру на другую. Преобразование подобия с коэффициентом $k$ — это такое преобразование, при котором для любых двух точек $M$ и $N$ расстояние между их образами $M'$ и $N'$ равно $M'N' = k \cdot MN$, где $k$ — постоянное положительное число, называемое коэффициентом подобия.

Для того чтобы доказать, что любая фигура $F$ подобна самой себе, нам нужно найти такое преобразование подобия, которое отображает фигуру $F$ на саму себя.

Рассмотрим тождественное преобразование. Это преобразование, при котором каждая точка плоскости (и, следовательно, каждая точка фигуры $F$) отображается на саму себя. Таким образом, образом фигуры $F$ при тождественном преобразовании является сама фигура $F$.

Теперь проверим, является ли тождественное преобразование преобразованием подобия. Пусть $M$ и $N$ — две произвольные точки фигуры $F$. При тождественном преобразовании их образы — это те же самые точки, то есть $M' = M$ и $N' = N$.

Расстояние между образами $M'N'$ равно расстоянию $MN$. Сравним это с формулой преобразования подобия: $M'N' = k \cdot MN$. Подставив наше значение, получим: $MN = k \cdot MN$

Если фигура $F$ не является одной точкой, мы можем выбрать две различные точки $M$ и $N$, и тогда расстояние $MN > 0$. В этом случае из равенства следует, что коэффициент $k = 1$. Так как $k=1$ является положительным числом, тождественное преобразование является преобразованием подобия.

Таким образом, для любой фигуры $F$ существует преобразование подобия (тождественное преобразование с коэффициентом $k=1$), которое отображает эту фигуру на саму себя. Это по определению означает, что любая фигура подобна самой себе.

Ответ: Утверждение доказано. Каждая фигура подобна самой себе, так как тождественное преобразование, отображающее фигуру на себя, является преобразованием подобия с коэффициентом $k=1$.

1317 Докажите, что если F₁ ∾ F с коэффициентом k, то F ∾ F₁ с коэффициентом 1k.

Пусть фигура $F_1$ подобна фигуре $F$ с коэффициентом подобия $k$. По определению это означает, что существует преобразование подобия $S$, которое переводит фигуру $F_1$ в фигуру $F$, то есть $S(F_1) = F$.

Для любых двух точек $A_1$ и $B_1$, принадлежащих фигуре $F_1$, и их образов $A = S(A_1)$ и $B = S(B_1)$, принадлежащих фигуре $F$, выполняется соотношение для расстояний:$|AB| = k \cdot |A_1B_1|$где $k$ — положительное число, называемое коэффициентом подобия.

Нам необходимо доказать, что фигура $F$ подобна фигуре $F_1$ с коэффициентом $\frac{1}{k}$. Это значит, что нам нужно найти преобразование подобия, которое переводит фигуру $F$ в фигуру $F_1$ и коэффициент которого равен $\frac{1}{k}$.

Преобразование подобия $S$ является взаимно-однозначным отображением (биекцией), поэтому для него существует обратное преобразование $S^{-1}$. Это преобразование $S^{-1}$ отображает каждую точку фигуры $F$ обратно в соответствующую ей точку фигуры $F_1$. То есть, $S^{-1}(F) = F_1$, $S^{-1}(A) = A_1$ и $S^{-1}(B) = B_1$.

Возьмем исходное равенство $|AB| = k \cdot |A_1B_1|$. Поскольку коэффициент подобия $k > 0$, мы можем разделить обе части равенства на $k$:$|A_1B_1| = \frac{1}{k} \cdot |AB|$

Это равенство показывает, что для любых двух точек $A$ и $B$ фигуры $F$ расстояние между их образами $A_1 = S^{-1}(A)$ и $B_1 = S^{-1}(B)$ при преобразовании $S^{-1}$ равно произведению расстояния $|AB|$ на постоянный коэффициент $\frac{1}{k}$.

Это означает, что преобразование $S^{-1}$ является преобразованием подобия, переводящим фигуру $F$ в фигуру $F_1$, и его коэффициент подобия равен $\frac{1}{k}$. Следовательно, по определению подобных фигур, фигура $F$ подобна фигуре $F_1$ с коэффициентом $\frac{1}{k}$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

1318 Докажите, что если фигура F₂ подобна F₁, а фигура F₁ подобна фигуре F, то фигура F₂ подобна фигуре F.

Доказательство этого утверждения основывается на определении подобных фигур и свойствах преобразования подобия.

По определению, фигура $F_A$ подобна фигуре $F_B$, если существует преобразование подобия с некоторым коэффициентом $k > 0$, которое переводит фигуру $F_B$ в фигуру $F_A$. Преобразование подобия — это такое преобразование, при котором расстояние между любыми двумя точками изменяется в $k$ раз.

1. Из условия, что фигура $F_2$ подобна фигуре $F_1$, следует, что существует преобразование подобия $S_1$ с коэффициентом $k_1 > 0$, которое переводит фигуру $F_1$ в фигуру $F_2$. Это значит, что для любых двух точек $A_1, B_1$ фигуры $F_1$ их образы $A_2=S_1(A_1)$ и $B_2=S_1(B_1)$ принадлежат фигуре $F_2$, и расстояние между ними равно $|A_2B_2| = k_1 \cdot |A_1B_1|$.

2. Аналогично, из условия, что фигура $F_1$ подобна фигуре $F$, следует, что существует преобразование подобия $S_2$ с коэффициентом $k_2 > 0$, которое переводит фигуру $F$ в фигуру $F_1$. Это значит, что для любых двух точек $A, B$ фигуры $F$ их образы $A_1=S_2(A)$ и $B_1=S_2(B)$ принадлежат фигуре $F_1$, и расстояние между ними равно $|A_1B_1| = k_2 \cdot |AB|$.

Нам необходимо доказать, что фигура $F_2$ подобна фигуре $F$. Для этого нужно показать, что существует преобразование подобия, переводящее фигуру $F$ в фигуру $F_2$.

Рассмотрим композицию (последовательное выполнение) двух преобразований: $S = S_1 \circ S_2$. Это преобразование сначала применяет $S_2$ к фигуре $F$, переводя ее в $F_1$, а затем применяет $S_1$ к полученной фигуре $F_1$, переводя ее в $F_2$. Таким образом, преобразование $S$ переводит фигуру $F$ в фигуру $F_2$.

Теперь докажем, что $S$ является преобразованием подобия. Возьмем две произвольные точки $A$ и $B$ в фигуре $F$.
Преобразование $S_2$ переводит их в точки $A_1=S_2(A)$ и $B_1=S_2(B)$ в фигуре $F_1$. Расстояние между ними равно:
$|A_1B_1| = k_2 \cdot |AB|$.
Далее, преобразование $S_1$ переводит точки $A_1$ и $B_1$ в точки $A_2=S_1(A_1)$ и $B_2=S_1(B_1)$ в фигуре $F_2$. Расстояние между ними равно:
$|A_2B_2| = k_1 \cdot |A_1B_1|$.

Подставим выражение для $|A_1B_1|$ из первого шага во второй:
$|A_2B_2| = k_1 \cdot (k_2 \cdot |AB|) = (k_1 k_2) \cdot |AB|$.

Пусть $k = k_1 k_2$. Поскольку $k_1 > 0$ и $k_2 > 0$, их произведение $k$ также будет положительным числом.
Мы получили, что преобразование $S$ переводит любые две точки $A, B$ из фигуры $F$ в точки $A_2, B_2$ из фигуры $F_2$ так, что расстояние между ними изменяется в $k$ раз, где $k$ — постоянный положительный коэффициент.
Следовательно, композиция преобразований $S = S_1 \circ S_2$ является преобразованием подобия с коэффициентом $k = k_1 k_2$, которое переводит фигуру $F$ в фигуру $F_2$.
По определению, это означает, что фигура $F_2$ подобна фигуре $F$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

1319 Пусть при гомотетии с k = –3 треугольник АВС переходит в треугольник А₁В₁С₁, а параллелограмм MNPQ — в параллелограмм M₁N₁P₁Q₁. Можно ли утверждать, что △ABC ∾ △А₁В₁С₁ и MNPQ ∾ M₁N₁P₁Q₁? При утвердительном ответе найдите коэффициент подобия.

Да, можно утверждать, что $\Delta ABC \sim \Delta A_1B_1C_1$ и $MNPQ \sim M_1N_1P_1Q_1$.

По определению, гомотетия является преобразованием подобия. Это означает, что любая фигура, полученная в результате гомотетии, подобна исходной фигуре.

1. Подобие $\Delta ABC$ и $\Delta A_1B_1C_1$

Поскольку треугольник $A_1B_1C_1$ является образом треугольника $ABC$ при гомотетии, то эти треугольники подобны.

2. Подобие $MNPQ$ и $M_1N_1P_1Q_1$

Аналогично, так как параллелограмм $M_1N_1P_1Q_1$ является образом параллелограмма $MNPQ$ при гомотетии, эти параллелограммы также подобны.

Нахождение коэффициента подобия

Коэффициент подобия фигур — это число, равное отношению длин соответственных сторон. При гомотетии с коэффициентом $k$ отношение длины отрезка-образа к длине соответствующего отрезка-прообраза равно модулю коэффициента гомотетии $|k|$.

В условии задачи дан коэффициент гомотетии $k = -3$. Следовательно, коэффициент подобия для обеих пар фигур будет одинаковым и равен:$$ |k| = |-3| = 3 $$Отрицательный знак коэффициента гомотетии означает, что образ расположен по другую сторону от центра гомотетии относительно прообраза (центральная симметрия с последующим растяжением), но на величину коэффициента подобия это не влияет.

Ответ: Да, можно утверждать, что $\Delta ABC \sim \Delta A_1B_1C_1$ и $MNPQ \sim M_1N_1P_1Q_1$. Коэффициент подобия в обоих случаях равен 3.