Номер 1313, страница 345 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий
ISBN: 978-5-09-102538-5 (2023), 978-5-09-111167-5 (2024)
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 7 классе
§ 2. Преобразование подобия. 135. Подобие произвольных фигур. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1313, страница 345.
№1313 (с. 345)
Условие. №1313 (с. 345)
скриншот условия


1313 Перечертите рисунок 401, а–г в тетрадь и постройте треугольники, в которые переходят данные треугольники, при гомотетии с данным центром и коэффициентом: а) △ABC, центр гомотетии О, k=3; б) △XYZ, центр гомотетии Z, в) △PQR, центр гомотетии P, k=–2; г) △LMN, центр гомотетии E — середина отрезка LM,

Решение 1. №1313 (с. 345)

Решение 10. №1313 (с. 345)



Решение 11. №1313 (с. 345)
а) Гомотетия с центром в точке $O$ и коэффициентом $k$ — это преобразование плоскости, при котором каждая точка $M$ переходит в такую точку $M'$, что выполняется векторное равенство $\vec{OM'} = k \cdot \vec{OM}$. Для построения образа фигуры необходимо построить образы ее вершин. Если точка $M$ имеет координаты $(x, y)$, а центр гомотетии $O$ — координаты $(x_0, y_0)$, то координаты ее образа $M'(x', y')$ вычисляются по формулам:
$x' = k(x - x_0) + x_0$
$y' = k(y - y_0) + y_0$
В данной задаче для треугольника $\triangle ABC$ центр гомотетии — точка $O$, а коэффициент $k = 3$.
Примем, что одна клетка сетки соответствует единице длины. Определим координаты вершин треугольника и центра гомотетии по рисунку: $A(0, 1)$, $B(2, 3)$, $C(4, 1)$ и центр $O(2, 2)$.
Найдем координаты вершин $A'$, $B'$, $C'$ треугольника $\triangle A'B'C'$, который является образом треугольника $\triangle ABC$ при данной гомотетии.
Для вершины $A(0, 1)$:
$x_{A'} = 3(0 - 2) + 2 = -6 + 2 = -4$
$y_{A'} = 3(1 - 2) + 2 = -3 + 2 = -1$
Таким образом, $A'(-4, -1)$.
Для вершины $B(2, 3)$:
$x_{B'} = 3(2 - 2) + 2 = 0 + 2 = 2$
$y_{B'} = 3(3 - 2) + 2 = 3 + 2 = 5$
Таким образом, $B'(2, 5)$.
Для вершины $C(4, 1)$:
$x_{C'} = 3(4 - 2) + 2 = 6 + 2 = 8$
$y_{C'} = 3(1 - 2) + 2 = -3 + 2 = -1$
Таким образом, $C'(8, -1)$.
Для построения треугольника $\triangle A'B'C'$ необходимо провести лучи $OA$, $OB$, $OC$ и отложить на них отрезки $OA' = 3 \cdot OA$, $OB' = 3 \cdot OB$, $OC' = 3 \cdot OC$. Затем соединить точки $A'$, $B'$, $C'$.\\Ответ: Искомый треугольник $\triangle A'B'C'$ имеет вершины с координатами $A'(-4, -1)$, $B'(2, 5)$, $C'(8, -1)$.
б) В данном случае необходимо построить образ треугольника $\triangle XYZ$ при гомотетии с центром в вершине $Z$ и коэффициентом $k = \frac{1}{2}$.
Координаты вершин треугольника: $X(1, 3)$, $Y(4, 0)$, $Z(5, 4)$. Центр гомотетии — точка $Z(5, 4)$.
Найдем образы вершин $X$ и $Y$. Вершина $Z$, являясь центром гомотетии, переходит сама в себя, то есть $Z' = Z$.
Для вершины $X(1, 3)$:
$x_{X'} = \frac{1}{2}(1 - 5) + 5 = \frac{1}{2}(-4) + 5 = -2 + 5 = 3$
$y_{X'} = \frac{1}{2}(3 - 4) + 5 = \frac{1}{2}(-1) + 4 = -0.5 + 4 = 3.5$
Таким образом, $X'(3, 3.5)$.
Для вершины $Y(4, 0)$:
$x_{Y'} = \frac{1}{2}(4 - 5) + 5 = \frac{1}{2}(-1) + 5 = -0.5 + 5 = 4.5$
$y_{Y'} = \frac{1}{2}(0 - 4) + 4 = \frac{1}{2}(-4) + 4 = -2 + 4 = 2$
Таким образом, $Y'(4.5, 2)$.
Так как $k=1/2$, точки $X'$ и $Y'$ являются серединами отрезков $ZX$ и $ZY$ соответственно. Треугольник $\triangle X'Y'Z$ подобен треугольнику $\triangle XYZ$.
Ответ: Искомый треугольник $\triangle X'Y'Z$ имеет вершины с координатами $X'(3, 3.5)$, $Y'(4.5, 2)$, $Z'(5, 4)$.
в) Необходимо построить образ треугольника $\triangle PQR$ при гомотетии с центром в вершине $P$ и коэффициентом $k = -2$.
Координаты вершин треугольника: $P(0, 3)$, $Q(1, 1)$, $R(5, 1)$. Центр гомотетии — точка $P(0, 3)$.
Так как центр гомотетии совпадает с вершиной $P$, то $P' = P$. Найдем образы вершин $Q$ и $R$. Поскольку коэффициент $k$ отрицателен, образы точек будут лежать на лучах, противоположных лучам $PQ$ и $PR$.
Для вершины $Q(1, 1)$:
$x_{Q'} = -2(1 - 0) + 0 = -2$
$y_{Q'} = -2(1 - 3) + 3 = -2(-2) + 3 = 4 + 3 = 7$
Таким образом, $Q'(-2, 7)$.
Для вершины $R(5, 1)$:
$x_{R'} = -2(5 - 0) + 0 = -10$
$y_{R'} = -2(1 - 3) + 3 = -2(-2) + 3 = 4 + 3 = 7$
Таким образом, $R'(-10, 7)$.
Геометрически, для построения точки $Q'$ нужно продлить отрезок $QP$ за точку $P$ на расстояние, равное $QP$. Аналогично для точки $R'$.
Ответ: Искомый треугольник $\triangle P'Q'R'$ имеет вершины с координатами $P'(0, 3)$, $Q'(-2, 7)$, $R'(-10, 7)$.
г) Необходимо построить образ треугольника $\triangle LMN$ при гомотетии с центром в точке $E$ и коэффициентом $k = -\frac{1}{2}$. В условии задачи указано, что "центр гомотетии E — середина отрезка LM". Однако на рисунке точка E расположена на отрезке LN и является его серединой. Расчетная середина отрезка LM имеет координаты $(1, 2.5)$, что не соответствует рисунку. Будем считать, что в условии опечатка, и центр гомотетии — это точка E, указанная на рисунке, то есть середина отрезка LN.
Координаты вершин треугольника: $L(1, 1)$, $M(1, 4)$, $N(5, 1)$.
Найдем координаты центра гомотетии $E$ как середины отрезка $LN$:
$x_E = \frac{1 + 5}{2} = 3$
$y_E = \frac{1 + 1}{2} = 1$
Центр гомотетии — $E(3, 1)$.
Найдем образы вершин $L, M, N$.
Для вершины $L(1, 1)$:
$x_{L'} = -\frac{1}{2}(1 - 3) + 3 = -\frac{1}{2}(-2) + 3 = 1 + 3 = 4$
$y_{L'} = -\frac{1}{2}(1 - 1) + 1 = 0 + 1 = 1$
Таким образом, $L'(4, 1)$.
Для вершины $M(1, 4)$:
$x_{M'} = -\frac{1}{2}(1 - 3) + 3 = -\frac{1}{2}(-2) + 3 = 1 + 3 = 4$
$y_{M'} = -\frac{1}{2}(4 - 1) + 1 = -\frac{3}{2} + 1 = -1.5 + 1 = -0.5$
Таким образом, $M'(4, -0.5)$.
Для вершины $N(5, 1)$:
$x_{N'} = -\frac{1}{2}(5 - 3) + 3 = -\frac{1}{2}(2) + 3 = -1 + 3 = 2$
$y_{N'} = -\frac{1}{2}(1 - 1) + 1 = 0 + 1 = 1$
Таким образом, $N'(2, 1)$.
Ответ: Искомый треугольник $\triangle L'M'N'$ имеет вершины с координатами $L'(4, 1)$, $M'(4, -0.5)$, $N'(2, 1)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 7-9 класс, для упражнения номер 1313 расположенного на странице 345 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №1313 (с. 345), авторов: Атанасян (Левон Сергеевич), Бутузов (Валентин Фёдорович), Кадомцев (Сергей Борисович), Позняк (Эдуард Генрихович), Юдина (Ирина Игоревна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.