Номер 1313, страница 345 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023

Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2023 - 2025

Уровень обучения: базовый

Цвет обложки: синий

ISBN: 978-5-09-102538-5 (2023), 978-5-09-111167-5 (2024)

Допущено Министерством просвещения Российской Федерации

Популярные ГДЗ в 7 классе

§ 2. Преобразование подобия. 135. Подобие произвольных фигур. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1313, страница 345.

Навигация по странице:

Решение Комментарии
№1313 (с. 345)
Условие. №1313 (с. 345)
скриншот условия
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 345, номер 1313, Условие Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 345, номер 1313, Условие (продолжение 2)

1313 Перечертите рисунок 401, а–г в тетрадь и постройте треугольники, в которые переходят данные треугольники, при гомотетии с данным центром и коэффициентом: а) △ABC, центр гомотетии О, k=3; б) △XYZ, центр гомотетии Z, k=12; в) △PQR, центр гомотетии P, k=–2; г) △LMN, центр гомотетии E — середина отрезка LMk=-12.

Рисунок 401
Решение 1. №1313 (с. 345)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 345, номер 1313, Решение 1
Решение 10. №1313 (с. 345)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 345, номер 1313, Решение 10 Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 345, номер 1313, Решение 10 (продолжение 2) Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 345, номер 1313, Решение 10 (продолжение 3)
Решение 11. №1313 (с. 345)

а) Гомотетия с центром в точке $O$ и коэффициентом $k$ — это преобразование плоскости, при котором каждая точка $M$ переходит в такую точку $M'$, что выполняется векторное равенство $\vec{OM'} = k \cdot \vec{OM}$. Для построения образа фигуры необходимо построить образы ее вершин. Если точка $M$ имеет координаты $(x, y)$, а центр гомотетии $O$ — координаты $(x_0, y_0)$, то координаты ее образа $M'(x', y')$ вычисляются по формулам:
$x' = k(x - x_0) + x_0$
$y' = k(y - y_0) + y_0$

В данной задаче для треугольника $\triangle ABC$ центр гомотетии — точка $O$, а коэффициент $k = 3$.
Примем, что одна клетка сетки соответствует единице длины. Определим координаты вершин треугольника и центра гомотетии по рисунку: $A(0, 1)$, $B(2, 3)$, $C(4, 1)$ и центр $O(2, 2)$.
Найдем координаты вершин $A'$, $B'$, $C'$ треугольника $\triangle A'B'C'$, который является образом треугольника $\triangle ABC$ при данной гомотетии.
Для вершины $A(0, 1)$:
$x_{A'} = 3(0 - 2) + 2 = -6 + 2 = -4$
$y_{A'} = 3(1 - 2) + 2 = -3 + 2 = -1$
Таким образом, $A'(-4, -1)$.
Для вершины $B(2, 3)$:
$x_{B'} = 3(2 - 2) + 2 = 0 + 2 = 2$
$y_{B'} = 3(3 - 2) + 2 = 3 + 2 = 5$
Таким образом, $B'(2, 5)$.
Для вершины $C(4, 1)$:
$x_{C'} = 3(4 - 2) + 2 = 6 + 2 = 8$
$y_{C'} = 3(1 - 2) + 2 = -3 + 2 = -1$
Таким образом, $C'(8, -1)$.
Для построения треугольника $\triangle A'B'C'$ необходимо провести лучи $OA$, $OB$, $OC$ и отложить на них отрезки $OA' = 3 \cdot OA$, $OB' = 3 \cdot OB$, $OC' = 3 \cdot OC$. Затем соединить точки $A'$, $B'$, $C'$.\\Ответ: Искомый треугольник $\triangle A'B'C'$ имеет вершины с координатами $A'(-4, -1)$, $B'(2, 5)$, $C'(8, -1)$.

б) В данном случае необходимо построить образ треугольника $\triangle XYZ$ при гомотетии с центром в вершине $Z$ и коэффициентом $k = \frac{1}{2}$.
Координаты вершин треугольника: $X(1, 3)$, $Y(4, 0)$, $Z(5, 4)$. Центр гомотетии — точка $Z(5, 4)$.
Найдем образы вершин $X$ и $Y$. Вершина $Z$, являясь центром гомотетии, переходит сама в себя, то есть $Z' = Z$.
Для вершины $X(1, 3)$:
$x_{X'} = \frac{1}{2}(1 - 5) + 5 = \frac{1}{2}(-4) + 5 = -2 + 5 = 3$
$y_{X'} = \frac{1}{2}(3 - 4) + 5 = \frac{1}{2}(-1) + 4 = -0.5 + 4 = 3.5$
Таким образом, $X'(3, 3.5)$.
Для вершины $Y(4, 0)$:
$x_{Y'} = \frac{1}{2}(4 - 5) + 5 = \frac{1}{2}(-1) + 5 = -0.5 + 5 = 4.5$
$y_{Y'} = \frac{1}{2}(0 - 4) + 4 = \frac{1}{2}(-4) + 4 = -2 + 4 = 2$
Таким образом, $Y'(4.5, 2)$.
Так как $k=1/2$, точки $X'$ и $Y'$ являются серединами отрезков $ZX$ и $ZY$ соответственно. Треугольник $\triangle X'Y'Z$ подобен треугольнику $\triangle XYZ$.
Ответ: Искомый треугольник $\triangle X'Y'Z$ имеет вершины с координатами $X'(3, 3.5)$, $Y'(4.5, 2)$, $Z'(5, 4)$.

в) Необходимо построить образ треугольника $\triangle PQR$ при гомотетии с центром в вершине $P$ и коэффициентом $k = -2$.
Координаты вершин треугольника: $P(0, 3)$, $Q(1, 1)$, $R(5, 1)$. Центр гомотетии — точка $P(0, 3)$.
Так как центр гомотетии совпадает с вершиной $P$, то $P' = P$. Найдем образы вершин $Q$ и $R$. Поскольку коэффициент $k$ отрицателен, образы точек будут лежать на лучах, противоположных лучам $PQ$ и $PR$.
Для вершины $Q(1, 1)$:
$x_{Q'} = -2(1 - 0) + 0 = -2$
$y_{Q'} = -2(1 - 3) + 3 = -2(-2) + 3 = 4 + 3 = 7$
Таким образом, $Q'(-2, 7)$.
Для вершины $R(5, 1)$:
$x_{R'} = -2(5 - 0) + 0 = -10$
$y_{R'} = -2(1 - 3) + 3 = -2(-2) + 3 = 4 + 3 = 7$
Таким образом, $R'(-10, 7)$.
Геометрически, для построения точки $Q'$ нужно продлить отрезок $QP$ за точку $P$ на расстояние, равное $QP$. Аналогично для точки $R'$.
Ответ: Искомый треугольник $\triangle P'Q'R'$ имеет вершины с координатами $P'(0, 3)$, $Q'(-2, 7)$, $R'(-10, 7)$.

г) Необходимо построить образ треугольника $\triangle LMN$ при гомотетии с центром в точке $E$ и коэффициентом $k = -\frac{1}{2}$. В условии задачи указано, что "центр гомотетии E — середина отрезка LM". Однако на рисунке точка E расположена на отрезке LN и является его серединой. Расчетная середина отрезка LM имеет координаты $(1, 2.5)$, что не соответствует рисунку. Будем считать, что в условии опечатка, и центр гомотетии — это точка E, указанная на рисунке, то есть середина отрезка LN.
Координаты вершин треугольника: $L(1, 1)$, $M(1, 4)$, $N(5, 1)$.
Найдем координаты центра гомотетии $E$ как середины отрезка $LN$:
$x_E = \frac{1 + 5}{2} = 3$
$y_E = \frac{1 + 1}{2} = 1$
Центр гомотетии — $E(3, 1)$.
Найдем образы вершин $L, M, N$.
Для вершины $L(1, 1)$:
$x_{L'} = -\frac{1}{2}(1 - 3) + 3 = -\frac{1}{2}(-2) + 3 = 1 + 3 = 4$
$y_{L'} = -\frac{1}{2}(1 - 1) + 1 = 0 + 1 = 1$
Таким образом, $L'(4, 1)$.
Для вершины $M(1, 4)$:
$x_{M'} = -\frac{1}{2}(1 - 3) + 3 = -\frac{1}{2}(-2) + 3 = 1 + 3 = 4$
$y_{M'} = -\frac{1}{2}(4 - 1) + 1 = -\frac{3}{2} + 1 = -1.5 + 1 = -0.5$
Таким образом, $M'(4, -0.5)$.
Для вершины $N(5, 1)$:
$x_{N'} = -\frac{1}{2}(5 - 3) + 3 = -\frac{1}{2}(2) + 3 = -1 + 3 = 2$
$y_{N'} = -\frac{1}{2}(1 - 1) + 1 = 0 + 1 = 1$
Таким образом, $N'(2, 1)$.
Ответ: Искомый треугольник $\triangle L'M'N'$ имеет вершины с координатами $L'(4, 1)$, $M'(4, -0.5)$, $N'(2, 1)$.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 7-9 класс, для упражнения номер 1313 расположенного на странице 345 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №1313 (с. 345), авторов: Атанасян (Левон Сергеевич), Бутузов (Валентин Фёдорович), Кадомцев (Сергей Борисович), Позняк (Эдуард Генрихович), Юдина (Ирина Игоревна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться