Номер 1312, страница 345 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Преобразование подобия. 135. Подобие произвольных фигур. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1312, страница 345.

1312 Отметьте точку О и начертите окружность произвольного радиуса r с центром в точке С, отличной от точки О. Постройте окружность, в которую переходит данная окружность при гомотетии с центром в точке О и коэффициентом k, если: а) k = –1; б) k = 1,5; в) k = 3.

Для решения задачи сначала отметим на плоскости две различные точки: центр гомотетии $O$ и центр исходной окружности $C$. Затем начертим окружность с центром в точке $C$ и произвольным радиусом $r$.

Гомотетия с центром $O$ и коэффициентом $k$ является преобразованием, которое переводит данную окружность в другую окружность. Для построения образа окружности необходимо найти образ ее центра и ее новый радиус.

Центр $C'$ новой окружности является образом центра $C$ исходной окружности при данной гомотетии. Его положение определяется векторным равенством $\vec{OC'} = k \cdot \vec{OC}$.

Радиус $r'$ новой окружности вычисляется по формуле $r' = |k| \cdot r$.

Рассмотрим каждый случай.

а) $k = -1$

1. Находим положение нового центра $C'$. Используем формулу $\vec{OC'} = k \cdot \vec{OC}$. При $k=-1$ получаем $\vec{OC'} = -1 \cdot \vec{OC} = -\vec{OC}$. Это векторное равенство означает, что точка $C'$ лежит на прямой, проходящей через $O$ и $C$, но с другой стороны от точки $O$ по отношению к точке $C$. При этом расстояние $OC'$ равно расстоянию $OC$. То есть, точка $O$ является серединой отрезка $CC'$. Данное преобразование является центральной симметрией относительно точки $O$.

2. Находим новый радиус $r'$. По формуле $r' = |k| \cdot r$ получаем $r' = |-1| \cdot r = r$. Радиус окружности не изменяется.

3. Построение. Соединяем точки $O$ и $C$ прямой. На продолжении отрезка $CO$ за точку $O$ откладываем отрезок $OC'$, равный $OC$. Полученная точка $C'$ будет центром новой окружности. Из точки $C'$ проводим окружность с тем же радиусом $r$.

Ответ: Искомая окружность имеет центр в точке $C'$, симметричной точке $C$ относительно центра гомотетии $O$, и радиус, равный исходному радиусу $r$.

б) $k = 1,5$

1. Находим положение нового центра $C'$. Используем формулу $\vec{OC'} = k \cdot \vec{OC}$. При $k=1,5$ получаем $\vec{OC'} = 1,5 \cdot \vec{OC}$. Так как коэффициент $k > 0$, точка $C'$ лежит на луче $OC$. Расстояние от центра гомотетии $O$ до нового центра $C'$ в 1,5 раза больше расстояния $OC$, то есть $OC' = 1,5 \cdot OC$.

2. Находим новый радиус $r'$. По формуле $r' = |k| \cdot r$ получаем $r' = |1,5| \cdot r = 1,5r$. Радиус новой окружности в 1,5 раза больше исходного.

3. Построение. Проводим луч $OC$. На этом луче от точки $O$ откладываем отрезок $OC'$, длина которого в 1,5 раза больше длины отрезка $OC$. Полученная точка $C'$ будет центром новой окружности. Из точки $C'$ проводим окружность с радиусом $r' = 1,5r$.

Ответ: Искомая окружность имеет центр в точке $C'$, лежащей на луче $OC$ на расстоянии $OC' = 1,5 \cdot OC$ от точки $O$, и радиус $r' = 1,5r$.

в) $k = 3$

1. Находим положение нового центра $C'$. Используем формулу $\vec{OC'} = k \cdot \vec{OC}$. При $k=3$ получаем $\vec{OC'} = 3 \cdot \vec{OC}$. Так как коэффициент $k > 0$, точка $C'$ лежит на луче $OC$. Расстояние от центра гомотетии $O$ до нового центра $C'$ в 3 раза больше расстояния $OC$, то есть $OC' = 3 \cdot OC$.

2. Находим новый радиус $r'$. По формуле $r' = |k| \cdot r$ получаем $r' = |3| \cdot r = 3r$. Радиус новой окружности в 3 раза больше исходного.

3. Построение. Проводим луч $OC$. На этом луче от точки $O$ откладываем отрезок $OC'$, длина которого в 3 раза больше длины отрезка $OC$. Полученная точка $C'$ будет центром новой окружности. Из точки $C'$ проводим окружность с радиусом $r' = 3r$.

Ответ: Искомая окружность имеет центр в точке $C'$, лежащей на луче $OC$ на расстоянии $OC' = 3 \cdot OC$ от точки $O$, и радиус $r' = 3r$.