Номер 1317, страница 345 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Преобразование подобия. 135. Подобие произвольных фигур. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1317, страница 345.

1317 Докажите, что если F₁ ∾ F с коэффициентом k, то F ∾ F₁ с коэффициентом 1k.

Пусть фигура $F_1$ подобна фигуре $F$ с коэффициентом подобия $k$. По определению это означает, что существует преобразование подобия $S$, которое переводит фигуру $F_1$ в фигуру $F$, то есть $S(F_1) = F$.

Для любых двух точек $A_1$ и $B_1$, принадлежащих фигуре $F_1$, и их образов $A = S(A_1)$ и $B = S(B_1)$, принадлежащих фигуре $F$, выполняется соотношение для расстояний:$|AB| = k \cdot |A_1B_1|$где $k$ — положительное число, называемое коэффициентом подобия.

Нам необходимо доказать, что фигура $F$ подобна фигуре $F_1$ с коэффициентом $\frac{1}{k}$. Это значит, что нам нужно найти преобразование подобия, которое переводит фигуру $F$ в фигуру $F_1$ и коэффициент которого равен $\frac{1}{k}$.

Преобразование подобия $S$ является взаимно-однозначным отображением (биекцией), поэтому для него существует обратное преобразование $S^{-1}$. Это преобразование $S^{-1}$ отображает каждую точку фигуры $F$ обратно в соответствующую ей точку фигуры $F_1$. То есть, $S^{-1}(F) = F_1$, $S^{-1}(A) = A_1$ и $S^{-1}(B) = B_1$.

Возьмем исходное равенство $|AB| = k \cdot |A_1B_1|$. Поскольку коэффициент подобия $k > 0$, мы можем разделить обе части равенства на $k$:$|A_1B_1| = \frac{1}{k} \cdot |AB|$

Это равенство показывает, что для любых двух точек $A$ и $B$ фигуры $F$ расстояние между их образами $A_1 = S^{-1}(A)$ и $B_1 = S^{-1}(B)$ при преобразовании $S^{-1}$ равно произведению расстояния $|AB|$ на постоянный коэффициент $\frac{1}{k}$.

Это означает, что преобразование $S^{-1}$ является преобразованием подобия, переводящим фигуру $F$ в фигуру $F_1$, и его коэффициент подобия равен $\frac{1}{k}$. Следовательно, по определению подобных фигур, фигура $F$ подобна фигуре $F_1$ с коэффициентом $\frac{1}{k}$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.