Номер 1321, страница 346 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Преобразование подобия. 135. Подобие произвольных фигур. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1321, страница 346.

1321 Гомотетия задана центром О и двумя соответственными точками А и А₁. Для данной точки М постройте соответственную ей при заданной гомотетии точку М₁ (рис. 403, а).

Решение

Пусть точка М не лежит на прямой АА₁. По определению гомотетии точка М₁ лежит на прямой ОМ. Для построения точки М₁ на этой прямой заметим, что, согласно свойству 10, прямая АМ переходит в параллельную ей прямую А₁М₁. Поэтому если через точку А₁ проведём прямую, параллельную прямой АМ, то она пересечёт прямую ОМ в искомой точке М₁ (рис. 403, б).

Если точка М лежит на прямой АА₁, то отметим произвольную точку В, не лежащую на прямой ОА, и построим указанным выше способом гомотетичную ей точку В₁. Затем, пользуясь точками В и В₁, построим точку М₁ (рис. 403, в).

Гомотетия — это преобразование подобия, определяемое центром $O$ и коэффициентом $k$. По определению, образом точки $M$ при гомотетии с центром $O$ и коэффициентом $k$ является точка $M_1$, такая что выполняется векторное равенство $\vec{OM_1} = k \cdot \vec{OM}$.

В данной задаче гомотетия задана центром $O$ и парой соответственных точек $A$ и $A_1$. Это означает, что $A_1$ является образом точки $A$. Из этого следует, что $\vec{OA_1} = k \cdot \vec{OA}$, где $k$ — коэффициент гомотетии. Таким образом, коэффициент $k$ определен однозначно и равен отношению длин отрезков $k = \frac{|OA_1|}{|OA|}$, если $A$ и $A_1$ лежат по одну сторону от $O$, и $k = -\frac{|OA_1|}{|OA|}$, если по разные.

Для построения образа точки $M$ — точки $M_1$ — рассмотрим два возможных случая расположения точки $M$.

Случай 1: Точка M не лежит на прямой AA? (рис. 403, б)

В этом случае точки $O, A, M$ не лежат на одной прямой. Для построения точки $M_1$ воспользуемся определением и свойствами гомотетии.

1. По определению гомотетии, искомая точка $M_1$ должна лежать на прямой, проходящей через центр гомотетии $O$ и прообраз $M$. Проводим прямую $OM$.
2. Одно из ключевых свойств гомотетии заключается в том, что она преобразует любую прямую в параллельную ей прямую. Рассмотрим прямую $AM$. Её образом при данной гомотетии будет прямая $A_1M_1$. Следовательно, прямая $A_1M_1$ должна быть параллельна прямой $AM$, то есть $A_1M_1 \parallel AM$.
3. Таким образом, точка $M_1$ является точкой пересечения двух прямых: прямой $OM$ и прямой, проходящей через точку $A_1$ параллельно прямой $AM$.

Алгоритм построения:

1. Соединяем точки $O$ и $M$ прямой.
2. Соединяем точки $A$ и $M$ прямой.
3. С помощью циркуля и линейки строим прямую, проходящую через точку $A_1$ и параллельную прямой $AM$.
4. Точка пересечения прямой, построенной в шаге 1, и прямой, построенной в шаге 3, и есть искомая точка $M_1$.

Ответ: Точка $M_1$ находится как пересечение прямой $OM$ и прямой, проходящей через $A_1$ параллельно $AM$.

Случай 2: Точка M лежит на прямой AA? (рис. 403, в)

В этом случае все данные точки $O, A, A_1, M$ лежат на одной прямой. Метод, описанный выше, неприменим, так как прямые $AM$ и $OM$ совпадают, и построить их пересечение невозможно.

Для решения задачи в этом случае используется вспомогательное построение.

1. Выберем произвольную вспомогательную точку $B$, не лежащую на прямой $OA$.
2. Теперь у нас есть точка $B$, которая не лежит на прямой $OA$. Мы можем построить её образ, точку $B_1$, используя алгоритм из Случая 1. Для этого:
   • Проводим прямую $OB$.
   • Проводим прямую $AB$.
   • Через точку $A_1$ проводим прямую, параллельную $AB$.
   • Точка пересечения этой параллельной прямой с прямой $OB$ будет образом точки $B$, то есть точкой $B_1$.
3. Теперь у нас есть новая пара соответственных точек $B$ и $B_1$, причем точка $B$ не лежит на прямой $OM$. Мы можем использовать эту пару для нахождения образа точки $M$.
4. Рассмотрим прямую $BM$. Её образом будет прямая $B_1M_1$, параллельная $BM$ ($B_1M_1 \parallel BM$).
5. Искомая точка $M_1$ лежит на пересечении прямой $OM$ (это исходная прямая $OA$) и прямой, проходящей через $B_1$ параллельно $BM$.

Алгоритм построения:

1. Выбираем точку $B$ вне прямой $OA$.
2. Строим точку $B_1$ — образ точки $B$ — как пересечение прямой $OB$ и прямой, проходящей через $A_1$ параллельно $AB$.
3. Проводим прямую $BM$.
4. Строим прямую, проходящую через точку $B_1$ параллельно прямой $BM$.
5. Точка пересечения этой параллельной прямой с исходной прямой $OA$ и есть искомая точка $M_1$.

Ответ: Искомая точка $M_1$ строится с помощью вспомогательной точки $B$. Сначала находится образ $B_1$ точки $B$. Затем $M_1$ находится как пересечение прямой $OA$ и прямой, проходящей через $B_1$ параллельно $BM$.