Номер 1326, страница 351 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

137. Применение подобия к решению задач. § 3. Применение подобия фигур к доказательству теорем и решению задач. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1326, страница 351.

1326 Диаметр AA₁ окружности перпендикулярен к хорде BB₁ и пересекает её в точке С. Найдите ВВ₁, если АС = 4 см, СА₁ = 8 см.

В данной задаче используются два ключевых свойства окружности: свойство пересекающихся хорд и свойство диаметра, перпендикулярного хорде.

1. Свойство диаметра, перпендикулярного хорде. По условию, диаметр $AA_1$ перпендикулярен хорде $BB_1$. Диаметр, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам. Точка их пересечения C является серединой хорды $BB_1$. Следовательно, $BC = CB_1$.

2. Свойство пересекающихся хорд. Произведение отрезков, на которые делится одна хорда точкой пересечения, равно произведению отрезков, на которые делится другая хорда. В нашем случае хорды $AA_1$ и $BB_1$ пересекаются в точке C. Таким образом, мы можем записать равенство: $AC \cdot CA_1 = BC \cdot CB_1$

3. Вычисление. Из условия задачи нам даны длины отрезков диаметра: $AC = 4$ см и $CA_1 = 8$ см. Поскольку $BC = CB_1$, мы можем переписать равенство из пункта 2 как: $AC \cdot CA_1 = BC^2$

Подставим известные значения в формулу: $4 \cdot 8 = BC^2$ $32 = BC^2$

Теперь найдем длину отрезка BC, извлекая квадратный корень: $BC = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$ см.

Так как точка C делит хорду $BB_1$ пополам, то длина всей хорды равна удвоенной длине отрезка BC: $BB_1 = 2 \cdot BC = 2 \cdot 4\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$ см.

Ответ: $8\sqrt{2}$ см.