Номер 1323, страница 346 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Преобразование подобия. 135. Подобие произвольных фигур. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1323, страница 346.

1323 Гомотетия задана центром О и двумя соответственными точками А и А₁. Для данной окружности, проходящей через точку А, постройте соответствующую ей при заданной гомотетии окружность (рис. 404, а).

Решение

Пусть С — центр данной окружности радиуса r, а С₁ — центр искомой окружности радиуса r₁. Согласно свойству 3⁰ п. 134 точки С и С₁ — соответственные точки при заданной гомотетии с центром О, поэтому, пользуясь данными точками А и А₁, легко построить точку С₁ (см. задачу 1321). Окружность, гомотетичная данной окружности, проходит через точку А₁ (объясните почему), поэтому искомой будет окружность с центром С₁ и радиусом С₁А₁ (рис. 404, б).

Задача состоит в построении образа окружности при гомотетии. Гомотетия задана центром $O$ и парой соответственных точек $A$ и $A_1$. Исходная окружность проходит через точку $A$.

а) Построение искомой окружности

Пусть $\omega$ — это данная окружность с центром в точке $C$ и радиусом $r=AC$. Мы ищем ее образ, окружность $\omega_1$, при гомотетии $H$ с центром $O$, которая переводит точку $A$ в точку $A_1$. Построение выполняется в следующем порядке:

1. Находим центр $C_1$ искомой окружности.
   При гомотетии образом окружности является окружность, причем центр исходной окружности переходит в центр ее образа. Таким образом, центр $C_1$ искомой окружности $\omega_1$ является образом центра $C$ данной окружности $\omega$ при гомотетии $H$.
   Точки $O$, $C$ и $C_1$ лежат на одной прямой. Для построения $C_1$ необходимо:
   • Провести прямую через точки $O$ и $C$.
   • Соединить точки $A$ и $C$ отрезком.
   • Через точку $A_1$ провести прямую, параллельную отрезку $AC$. Точка пересечения этой прямой с прямой $OC$ будет искомым центром $C_1$.
   Данное построение основано на подобии треугольников $\triangle OAC$ и $\triangle OA_1C_1$. У них общий угол при вершине $O$, а углы $\angle OAC$ и $\angle OA_1C_1$ равны как соответственные при параллельных прямых $AC \parallel A_1C_1$ и секущей $OA$. Из подобия следует, что $\frac{OC_1}{OC} = \frac{OA_1}{OA} = k$, где $k$ - коэффициент гомотетии. Это и означает, что $C_1$ является образом точки $C$.
2. Определяем радиус и строим окружность.
   Поскольку точка $A$ лежит на исходной окружности $\omega$, ее образ, точка $A_1$, должен лежать на образе окружности, то есть на $\omega_1$. Следовательно, отрезок $C_1A_1$ является радиусом искомой окружности $\omega_1$.
   Строим окружность с центром в найденной точке $C_1$ и радиусом, равным длине отрезка $C_1A_1$.

Ответ: Искомая окружность — это окружность с центром в точке $C_1$ и радиусом $r_1=C_1A_1$, где точка $C_1$ построена как образ центра $C$ исходной окружности при гомотетии, заданной центром $O$ и парой точек $A$ и $A_1$.

б) Объяснение, почему искомая окружность проходит через точку $A_1$

Это объяснение является ответом на вопрос, содержащийся в тексте решения из учебника ("объясните почему").

Гомотетия является геометрическим преобразованием, которое сопоставляет каждой точке $X$ исходной фигуры $F$ точку $X_1$ (ее образ) так, что все такие образы образуют новую фигуру $F_1$, называемую образом фигуры $F$.
В условиях задачи:

• Исходная фигура — это окружность $\omega$.
• Точка $A$ принадлежит этой окружности ($A \in \omega$).
• Гомотетия $H$ переводит точку $A$ в точку $A_1$ (то есть, $H(A) = A_1$).
• Образом окружности $\omega$ является искомая окружность $\omega_1$ (то есть, $H(\omega) = \omega_1$).

По определению образа фигуры при преобразовании, если точка принадлежит исходной фигуре, то ее образ должен принадлежать образу фигуры. Так как точка $A$ принадлежит окружности $\omega$, ее образ $H(A)$ должен принадлежать образу окружности $H(\omega)$.
Мы знаем, что $H(A) = A_1$ и $H(\omega) = \omega_1$. Следовательно, должно выполняться условие $A_1 \in \omega_1$.

Это означает, что искомая окружность $\omega_1$ по определению должна проходить через точку $A_1$.

Ответ: Искомая окружность проходит через точку $A_1$, так как точка $A_1$ является образом точки $A$ при заданной гомотетии, а точка $A$ принадлежит исходной окружности.