Номер 1327, страница 351 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

137. Применение подобия к решению задач. § 3. Применение подобия фигур к доказательству теорем и решению задач. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1327, страница 351.

1327 Пользуясь теорией об отрезках пересекающихся хорд, докажите, что перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки окружности к диаметру, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые основание перпендикуляра делит диаметр.

Для доказательства утверждения рассмотрим окружность, её диаметр $AB$ и произвольную точку $C$ на этой окружности. Из точки $C$ опустим перпендикуляр $CH$ на диаметр $AB$. Точка $H$ является основанием перпендикуляра и лежит на отрезке $AB$.

Дано:
Окружность с диаметром $AB$.
Точка $C$ лежит на окружности.
$CH$ — перпендикуляр к $AB$, то есть $CH \perp AB$.

Доказать:
Длина перпендикуляра $CH$ является средним пропорциональным для длин отрезков $AH$ и $HB$, на которые точка $H$ делит диаметр. Математически это выражается формулой: $CH^2 = AH \cdot HB$.

Доказательство:

1. Для того чтобы использовать теорему о пересекающихся хордах, нам нужны две пересекающиеся хорды. Диаметр $AB$ — это первая хорда.

2. Построим вторую хорду. Продлим отрезок $CH$ за точку $H$ до его пересечения с окружностью в точке $D$. Отрезок $CD$ является хордой окружности.

3. Хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $H$. По теореме об отрезках пересекающихся хорд, произведение отрезков, на которые точка пересечения делит одну хорду, равно произведению отрезков, на которые она делит другую хорду. Таким образом, мы можем записать равенство: $AH \cdot HB = CH \cdot HD$

4. Теперь рассмотрим свойство хорды $CD$. По построению, она перпендикулярна диаметру $AB$. Диаметр, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам. Следовательно, точка $H$ является серединой хорды $CD$. Это означает, что длины отрезков $CH$ и $HD$ равны: $CH = HD$

5. Подставим $HD = CH$ в равенство, полученное на шаге 3: $AH \cdot HB = CH \cdot CH$

6. Упрощая, получаем: $CH^2 = AH \cdot HB$

Это равенство по определению означает, что $CH$ является средним пропорциональным (или средним геометрическим) для отрезков $AH$ и $HB$. Утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано. Путём построения хорды $CD$, перпендикулярной диаметру $AB$ и проходящей через точку $C$, и применения теоремы о пересекающихся хордах ($AH \cdot HB = CH \cdot HD$) и свойства перпендикулярности диаметра и хорды ($CH = HD$), было получено искомое соотношение $CH^2 = AH \cdot HB$. Это доказывает, что перпендикуляр, проведённый из точки окружности к диаметру, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые основание перпендикуляра делит диаметр.