Номер 1322, страница 346 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Преобразование подобия. 135. Подобие произвольных фигур. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1322, страница 346.

1322 Начертите параллелограмм АВСD отметьте на плоскости точки О и А₁ так, чтобы А₁, О и А лежали на одной прямой. Рассмотрите гомотетию с центром в точке О, при котором точка А переходит в точку А₁. Используя свойства гомотетии, постройте параллелограмм А₁В₁С₁D₁, в который переходит параллелограмм АВСD при заданной гомотетии.

Задача заключается в построении образа параллелограмма $ABCD$ при гомотетии с центром в точке $O$, которая переводит точку $A$ в точку $A_1$. Гомотетия — это геометрическое преобразование, которое определяется центром $O$ и некоторым числовым коэффициентом $k \neq 0$. При гомотетии каждая точка $M$ плоскости переходит в точку $M_1$ такую, что выполняется векторное равенство $\vec{OM_1} = k \cdot \vec{OM}$.

В условии задачи гомотетия задана центром $O$ и парой соответствующих точек: $A$ и ее образом $A_1$. Точки $A$, $O$ и $A_1$ лежат на одной прямой, что соответствует определению. Коэффициент гомотетии $k$ определяется отношением $k = \frac{OA_1}{OA}$ (знак зависит от взаимного расположения точек: $k > 0$, если $A$ и $A_1$ лежат по одну сторону от $O$, и $k < 0$, если по разные).

Для построения мы будем использовать ключевые свойства гомотетии:

• Гомотетия переводит прямую в параллельную ей прямую (или в саму себя, если прямая проходит через центр гомотетии).
• Как следствие, гомотетия сохраняет углы и переводит любой многоугольник в подобный ему многоугольник. В частности, образом параллелограмма является параллелограмм.

Ниже представлен пошаговый алгоритм построения.

Построение

1. Начертим произвольный параллелограмм $ABCD$. Выберем на плоскости точку $O$ (центр гомотетии). Проведем прямую $OA$ и на ней отметим точку $A_1$. Это полностью задает нашу гомотетию.
2. Для нахождения образа вершины $B$, точки $B_1$, проведем прямую (луч) $OB$. Точка $B_1$ должна лежать на этой прямой.
3. Согласно свойству гомотетии, образ прямой $AB$ — это прямая $A_1B_1$, параллельная $AB$. Поэтому построим прямую, проходящую через уже известную точку $A_1$ параллельно стороне $AB$.
4. Точка пересечения прямой $OB$ и прямой, построенной в предыдущем шаге, и будет искомой вершиной $B_1$.
5. Аналогично найдем вершину $D_1$. Проведем прямую $OD$. Через точку $A_1$ проведем прямую, параллельную стороне $AD$. Точка пересечения этих двух прямых будет вершиной $D_1$.
6. Вершину $C_1$ можно построить, зная, что фигура $A_1B_1C_1D_1$ также является параллелограммом. Следовательно, $\vec{A_1B_1} = \vec{D_1C_1}$. Для построения точки $C_1$ нужно отложить от точки $D_1$ вектор, равный вектору $\vec{A_1B_1}$. Альтернативно, можно найти $C_1$ как пересечение прямой $OC$ и прямой, проходящей через $B_1$ параллельно $BC$.
7. Соединив последовательно точки $A_1, B_1, C_1, D_1$, получим искомый параллелограмм.

Построенный четырехугольник $A_1B_1C_1D_1$ является образом параллелограмма $ABCD$, так как его вершины являются образами соответствующих вершин исходного параллелограмма, а его стороны попарно параллельны соответствующим сторонам $ABCD$ ($A_1B_1 \parallel AB$, $B_1C_1 \parallel BC$, и т.д.), что гарантирует сохранение формы параллелограмма.

Ответ: Искомый параллелограмм $A_1B_1C_1D_1$ строится путем последовательного нахождения образов $B_1, C_1, D_1$ вершин $B, C, D$. Образ каждой вершины $M$ находится на прямой $OM$. Точное положение образа $M_1$ определяется с использованием свойства гомотетии, согласно которому образ прямой (например, $AB$) параллелен исходной прямой ($A_1B_1 \parallel AB$). В результате построения получается параллелограмм $A_1B_1C_1D_1$, подобный исходному.