Страница 346 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

1320 Выясните, что представляет собой фигура F₁, подобная фигуре F, если F является: а) трапецией; б) парой пересекающихся под углом 30° прямых.

а) Преобразование подобия является преобразованием, которое сохраняет форму фигуры, но может изменять её размеры. Ключевые свойства преобразования подобия, которые нам понадобятся:

• Преобразование подобия переводит прямые в прямые.
• Преобразование подобия сохраняет параллельность прямых.
• Преобразование подобия переводит многоугольник в многоугольник с тем же числом сторон, причём соответствующие углы равны.

Фигура $F$ является трапецией. Трапеция — это четырёхугольник, у которого есть хотя бы одна пара параллельных сторон. Пусть $F$ — это трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, то есть $AD \parallel BC$.

Фигура $F_1$ подобна фигуре $F$. Это означает, что $F_1$ получена из $F$ преобразованием подобия. При этом преобразовании вершины $A, B, C, D$ перейдут в некоторые вершины $A_1, B_1, C_1, D_1$, которые образуют фигуру $F_1$. Так как $F$ — четырёхугольник, то и $F_1$ будет четырёхугольником.

Поскольку преобразование подобия сохраняет параллельность прямых, то образы прямых, содержащих стороны $AD$ и $BC$, будут также параллельны. То есть, прямая, содержащая сторону $A_1D_1$, будет параллельна прямой, содержащей сторону $B_1C_1$ ($A_1D_1 \parallel B_1C_1$).

Таким образом, фигура $F_1$ является четырёхугольником, у которого есть пара параллельных сторон. По определению, такая фигура является трапецией.

Ответ: Фигура $F_1$ представляет собой трапецию.

б) Фигура $F$ представляет собой пару прямых, пересекающихся под углом $30^\circ$.

Как было упомянуто в пункте а), преобразование подобия переводит прямые в прямые. Следовательно, если фигура $F$ состоит из двух прямых, то и подобная ей фигура $F_1$ будет состоять из двух прямых.

Если исходные прямые пересекаются, то их образы при преобразовании подобия также будут пересекаться (если коэффициент подобия не равен нулю).

Важнейшим свойством преобразования подобия является сохранение углов. Это означает, что угол между любыми двумя пересекающимися линиями сохраняется при преобразовании. Поскольку исходные прямые в фигуре $F$ пересекаются под углом $30^\circ$, то прямые, образующие фигуру $F_1$, также будут пересекаться под углом $30^\circ$.

Следовательно, фигура $F_1$ будет представлять собой пару пересекающихся под углом $30^\circ$ прямых.

Ответ: Фигура $F_1$ представляет собой пару прямых, пересекающихся под углом $30^\circ$.

1321 Гомотетия задана центром О и двумя соответственными точками А и А₁. Для данной точки М постройте соответственную ей при заданной гомотетии точку М₁ (рис. 403, а).

Решение

Пусть точка М не лежит на прямой АА₁. По определению гомотетии точка М₁ лежит на прямой ОМ. Для построения точки М₁ на этой прямой заметим, что, согласно свойству 10, прямая АМ переходит в параллельную ей прямую А₁М₁. Поэтому если через точку А₁ проведём прямую, параллельную прямой АМ, то она пересечёт прямую ОМ в искомой точке М₁ (рис. 403, б).

Если точка М лежит на прямой АА₁, то отметим произвольную точку В, не лежащую на прямой ОА, и построим указанным выше способом гомотетичную ей точку В₁. Затем, пользуясь точками В и В₁, построим точку М₁ (рис. 403, в).

Гомотетия — это преобразование подобия, определяемое центром $O$ и коэффициентом $k$. По определению, образом точки $M$ при гомотетии с центром $O$ и коэффициентом $k$ является точка $M_1$, такая что выполняется векторное равенство $\vec{OM_1} = k \cdot \vec{OM}$.

В данной задаче гомотетия задана центром $O$ и парой соответственных точек $A$ и $A_1$. Это означает, что $A_1$ является образом точки $A$. Из этого следует, что $\vec{OA_1} = k \cdot \vec{OA}$, где $k$ — коэффициент гомотетии. Таким образом, коэффициент $k$ определен однозначно и равен отношению длин отрезков $k = \frac{|OA_1|}{|OA|}$, если $A$ и $A_1$ лежат по одну сторону от $O$, и $k = -\frac{|OA_1|}{|OA|}$, если по разные.

Для построения образа точки $M$ — точки $M_1$ — рассмотрим два возможных случая расположения точки $M$.

В этом случае точки $O, A, M$ не лежат на одной прямой. Для построения точки $M_1$ воспользуемся определением и свойствами гомотетии.

1. По определению гомотетии, искомая точка $M_1$ должна лежать на прямой, проходящей через центр гомотетии $O$ и прообраз $M$. Проводим прямую $OM$.
2. Одно из ключевых свойств гомотетии заключается в том, что она преобразует любую прямую в параллельную ей прямую. Рассмотрим прямую $AM$. Её образом при данной гомотетии будет прямая $A_1M_1$. Следовательно, прямая $A_1M_1$ должна быть параллельна прямой $AM$, то есть $A_1M_1 \parallel AM$.
3. Таким образом, точка $M_1$ является точкой пересечения двух прямых: прямой $OM$ и прямой, проходящей через точку $A_1$ параллельно прямой $AM$.

Алгоритм построения:

1. Соединяем точки $O$ и $M$ прямой.
2. Соединяем точки $A$ и $M$ прямой.
3. С помощью циркуля и линейки строим прямую, проходящую через точку $A_1$ и параллельную прямой $AM$.
4. Точка пересечения прямой, построенной в шаге 1, и прямой, построенной в шаге 3, и есть искомая точка $M_1$.

Ответ: Точка $M_1$ находится как пересечение прямой $OM$ и прямой, проходящей через $A_1$ параллельно $AM$.

В этом случае все данные точки $O, A, A_1, M$ лежат на одной прямой. Метод, описанный выше, неприменим, так как прямые $AM$ и $OM$ совпадают, и построить их пересечение невозможно.

Для решения задачи в этом случае используется вспомогательное построение.

1. Выберем произвольную вспомогательную точку $B$, не лежащую на прямой $OA$.
2. Теперь у нас есть точка $B$, которая не лежит на прямой $OA$. Мы можем построить её образ, точку $B_1$, используя алгоритм из Случая 1. Для этого:
   • Проводим прямую $OB$.
   • Проводим прямую $AB$.
   • Через точку $A_1$ проводим прямую, параллельную $AB$.
   • Точка пересечения этой параллельной прямой с прямой $OB$ будет образом точки $B$, то есть точкой $B_1$.
3. Теперь у нас есть новая пара соответственных точек $B$ и $B_1$, причем точка $B$ не лежит на прямой $OM$. Мы можем использовать эту пару для нахождения образа точки $M$.
4. Рассмотрим прямую $BM$. Её образом будет прямая $B_1M_1$, параллельная $BM$ ($B_1M_1 \parallel BM$).
5. Искомая точка $M_1$ лежит на пересечении прямой $OM$ (это исходная прямая $OA$) и прямой, проходящей через $B_1$ параллельно $BM$.

Алгоритм построения:

1. Выбираем точку $B$ вне прямой $OA$.
2. Строим точку $B_1$ — образ точки $B$ — как пересечение прямой $OB$ и прямой, проходящей через $A_1$ параллельно $AB$.
3. Проводим прямую $BM$.
4. Строим прямую, проходящую через точку $B_1$ параллельно прямой $BM$.
5. Точка пересечения этой параллельной прямой с исходной прямой $OA$ и есть искомая точка $M_1$.

Ответ: Искомая точка $M_1$ строится с помощью вспомогательной точки $B$. Сначала находится образ $B_1$ точки $B$. Затем $M_1$ находится как пересечение прямой $OA$ и прямой, проходящей через $B_1$ параллельно $BM$.

1322 Начертите параллелограмм АВСD отметьте на плоскости точки О и А₁ так, чтобы А₁, О и А лежали на одной прямой. Рассмотрите гомотетию с центром в точке О, при котором точка А переходит в точку А₁. Используя свойства гомотетии, постройте параллелограмм А₁В₁С₁D₁, в который переходит параллелограмм АВСD при заданной гомотетии.

Задача заключается в построении образа параллелограмма $ABCD$ при гомотетии с центром в точке $O$, которая переводит точку $A$ в точку $A_1$. Гомотетия — это геометрическое преобразование, которое определяется центром $O$ и некоторым числовым коэффициентом $k \neq 0$. При гомотетии каждая точка $M$ плоскости переходит в точку $M_1$ такую, что выполняется векторное равенство $\vec{OM_1} = k \cdot \vec{OM}$.

В условии задачи гомотетия задана центром $O$ и парой соответствующих точек: $A$ и ее образом $A_1$. Точки $A$, $O$ и $A_1$ лежат на одной прямой, что соответствует определению. Коэффициент гомотетии $k$ определяется отношением $k = \frac{OA_1}{OA}$ (знак зависит от взаимного расположения точек: $k > 0$, если $A$ и $A_1$ лежат по одну сторону от $O$, и $k < 0$, если по разные).

Для построения мы будем использовать ключевые свойства гомотетии:

• Гомотетия переводит прямую в параллельную ей прямую (или в саму себя, если прямая проходит через центр гомотетии).
• Как следствие, гомотетия сохраняет углы и переводит любой многоугольник в подобный ему многоугольник. В частности, образом параллелограмма является параллелограмм.

Ниже представлен пошаговый алгоритм построения.

Построение

1. Начертим произвольный параллелограмм $ABCD$. Выберем на плоскости точку $O$ (центр гомотетии). Проведем прямую $OA$ и на ней отметим точку $A_1$. Это полностью задает нашу гомотетию.
2. Для нахождения образа вершины $B$, точки $B_1$, проведем прямую (луч) $OB$. Точка $B_1$ должна лежать на этой прямой.
3. Согласно свойству гомотетии, образ прямой $AB$ — это прямая $A_1B_1$, параллельная $AB$. Поэтому построим прямую, проходящую через уже известную точку $A_1$ параллельно стороне $AB$.
4. Точка пересечения прямой $OB$ и прямой, построенной в предыдущем шаге, и будет искомой вершиной $B_1$.
5. Аналогично найдем вершину $D_1$. Проведем прямую $OD$. Через точку $A_1$ проведем прямую, параллельную стороне $AD$. Точка пересечения этих двух прямых будет вершиной $D_1$.
6. Вершину $C_1$ можно построить, зная, что фигура $A_1B_1C_1D_1$ также является параллелограммом. Следовательно, $\vec{A_1B_1} = \vec{D_1C_1}$. Для построения точки $C_1$ нужно отложить от точки $D_1$ вектор, равный вектору $\vec{A_1B_1}$. Альтернативно, можно найти $C_1$ как пересечение прямой $OC$ и прямой, проходящей через $B_1$ параллельно $BC$.
7. Соединив последовательно точки $A_1, B_1, C_1, D_1$, получим искомый параллелограмм.

Построенный четырехугольник $A_1B_1C_1D_1$ является образом параллелограмма $ABCD$, так как его вершины являются образами соответствующих вершин исходного параллелограмма, а его стороны попарно параллельны соответствующим сторонам $ABCD$ ($A_1B_1 \parallel AB$, $B_1C_1 \parallel BC$, и т.д.), что гарантирует сохранение формы параллелограмма.

Ответ: Искомый параллелограмм $A_1B_1C_1D_1$ строится путем последовательного нахождения образов $B_1, C_1, D_1$ вершин $B, C, D$. Образ каждой вершины $M$ находится на прямой $OM$. Точное положение образа $M_1$ определяется с использованием свойства гомотетии, согласно которому образ прямой (например, $AB$) параллелен исходной прямой ($A_1B_1 \parallel AB$). В результате построения получается параллелограмм $A_1B_1C_1D_1$, подобный исходному.

1323 Гомотетия задана центром О и двумя соответственными точками А и А₁. Для данной окружности, проходящей через точку А, постройте соответствующую ей при заданной гомотетии окружность (рис. 404, а).

Решение

Пусть С — центр данной окружности радиуса r, а С₁ — центр искомой окружности радиуса r₁. Согласно свойству 3⁰ п. 134 точки С и С₁ — соответственные точки при заданной гомотетии с центром О, поэтому, пользуясь данными точками А и А₁, легко построить точку С₁ (см. задачу 1321). Окружность, гомотетичная данной окружности, проходит через точку А₁ (объясните почему), поэтому искомой будет окружность с центром С₁ и радиусом С₁А₁ (рис. 404, б).

Задача состоит в построении образа окружности при гомотетии. Гомотетия задана центром $O$ и парой соответственных точек $A$ и $A_1$. Исходная окружность проходит через точку $A$.

а) Построение искомой окружности

Пусть $\omega$ — это данная окружность с центром в точке $C$ и радиусом $r=AC$. Мы ищем ее образ, окружность $\omega_1$, при гомотетии $H$ с центром $O$, которая переводит точку $A$ в точку $A_1$. Построение выполняется в следующем порядке:

1. Находим центр $C_1$ искомой окружности.
   При гомотетии образом окружности является окружность, причем центр исходной окружности переходит в центр ее образа. Таким образом, центр $C_1$ искомой окружности $\omega_1$ является образом центра $C$ данной окружности $\omega$ при гомотетии $H$.
   Точки $O$, $C$ и $C_1$ лежат на одной прямой. Для построения $C_1$ необходимо:
   • Провести прямую через точки $O$ и $C$.
   • Соединить точки $A$ и $C$ отрезком.
   • Через точку $A_1$ провести прямую, параллельную отрезку $AC$. Точка пересечения этой прямой с прямой $OC$ будет искомым центром $C_1$.
   Данное построение основано на подобии треугольников $\triangle OAC$ и $\triangle OA_1C_1$. У них общий угол при вершине $O$, а углы $\angle OAC$ и $\angle OA_1C_1$ равны как соответственные при параллельных прямых $AC \parallel A_1C_1$ и секущей $OA$. Из подобия следует, что $\frac{OC_1}{OC} = \frac{OA_1}{OA} = k$, где $k$ - коэффициент гомотетии. Это и означает, что $C_1$ является образом точки $C$.
2. Определяем радиус и строим окружность.
   Поскольку точка $A$ лежит на исходной окружности $\omega$, ее образ, точка $A_1$, должен лежать на образе окружности, то есть на $\omega_1$. Следовательно, отрезок $C_1A_1$ является радиусом искомой окружности $\omega_1$.
   Строим окружность с центром в найденной точке $C_1$ и радиусом, равным длине отрезка $C_1A_1$.

Ответ: Искомая окружность — это окружность с центром в точке $C_1$ и радиусом $r_1=C_1A_1$, где точка $C_1$ построена как образ центра $C$ исходной окружности при гомотетии, заданной центром $O$ и парой точек $A$ и $A_1$.

б) Объяснение, почему искомая окружность проходит через точку $A_1$

Это объяснение является ответом на вопрос, содержащийся в тексте решения из учебника ("объясните почему").

Гомотетия является геометрическим преобразованием, которое сопоставляет каждой точке $X$ исходной фигуры $F$ точку $X_1$ (ее образ) так, что все такие образы образуют новую фигуру $F_1$, называемую образом фигуры $F$.
В условиях задачи:

• Исходная фигура — это окружность $\omega$.
• Точка $A$ принадлежит этой окружности ($A \in \omega$).
• Гомотетия $H$ переводит точку $A$ в точку $A_1$ (то есть, $H(A) = A_1$).
• Образом окружности $\omega$ является искомая окружность $\omega_1$ (то есть, $H(\omega) = \omega_1$).

По определению образа фигуры при преобразовании, если точка принадлежит исходной фигуре, то ее образ должен принадлежать образу фигуры. Так как точка $A$ принадлежит окружности $\omega$, ее образ $H(A)$ должен принадлежать образу окружности $H(\omega)$.
Мы знаем, что $H(A) = A_1$ и $H(\omega) = \omega_1$. Следовательно, должно выполняться условие $A_1 \in \omega_1$.

Это означает, что искомая окружность $\omega_1$ по определению должна проходить через точку $A_1$.

Ответ: Искомая окружность проходит через точку $A_1$, так как точка $A_1$ является образом точки $A$ при заданной гомотетии, а точка $A$ принадлежит исходной окружности.