Страница 353 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

1338 Даны прямая l и точка О, не лежащая на ней. Пусть X — любая точка прямой l. Используя гомотетию с центром в точке О, докажите, что множество точек, делящих отрезок OX в отношении 1 : 3, считая от точки О, есть прямая, параллельная прямой l.

Пусть $l$ — данная прямая, и $O$ — точка, не лежащая на этой прямой. Пусть $X$ — произвольная точка, принадлежащая прямой $l$. Обозначим через $M$ точку, которая делит отрезок $OX$ в отношении $1:3$, считая от точки $O$.

По определению деления отрезка в заданном отношении, точка $M$ лежит на отрезке $OX$, и выполняется соотношение длин $OM : MX = 1:3$.

Из этого соотношения следует, что длина отрезка $OM$ составляет одну часть, а длина отрезка $MX$ — три части от общей длины. Таким образом, весь отрезок $OX$ состоит из $1+3=4$ таких частей. Отношение длины отрезка $OM$ к длине всего отрезка $OX$ будет равно: $|OM| : |OX| = 1 : 4$, или $|OM| = \frac{1}{4} |OX|$.

Поскольку точка $M$ лежит на отрезке $OX$, векторы $\vec{OM}$ и $\vec{OX}$ сонаправлены (имеют одинаковое направление). Это позволяет записать векторное равенство: $\vec{OM} = \frac{1}{4} \vec{OX}$.

Данное векторное равенство является определением гомотетии (или гомотетичного преобразования) с центром в точке $O$ и коэффициентом $k = \frac{1}{4}$. Точка $M$ является образом точки $X$ при этой гомотетии.

Так как $X$ — это любая точка прямой $l$, то искомое множество точек $M$ представляет собой образ всей прямой $l$ при гомотетии с центром $O$ и коэффициентом $k = \frac{1}{4}$.

Согласно одному из основных свойств гомотетии, образом прямой при гомотетичном преобразовании является прямая, параллельная исходной прямой. Это свойство выполняется, так как центр гомотетии $O$ не лежит на прямой $l$ по условию задачи.

Таким образом, множество точек $M$ образует прямую, параллельную прямой $l$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Каждая точка $M$, делящая отрезок $OX$ в отношении $1:3$ (где $X \in l$), является образом точки $X$ при гомотетии с центром $O$ и коэффициентом $k = \frac{1}{4}$. Множество всех таких точек $M$ есть образ прямой $l$ при данной гомотетии. По свойству гомотетии, образом прямой является прямая, параллельная исходной. Следовательно, искомое множество точек есть прямая, параллельная прямой $l$.

1339 Через данную точку А окружности проведены всевозможные хорды. Используя гомотетию с центром в точке А, докажите, что множество точек, делящих эти хорды в отношении 1 : 3, считая от точки А, есть окружность. Укажите положение центра этой окружности.

Пусть дана окружность $\omega$ с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Точка $A$ лежит на этой окружности. Через точку $A$ проведена произвольная хорда $AB$, где $B$ — некоторая точка на окружности $\omega$.

По условию, на каждой такой хорде $AB$ находится точка $M$, которая делит её в отношении $1:3$, считая от точки $A$. Это означает, что $AM : MB = 1:3$. Из этого соотношения следует, что длина отрезка $AM$ составляет одну четвертую часть длины всей хорды $AB$, так как $AB = AM + MB = AM + 3AM = 4AM$, откуда $AM = \frac{1}{4}AB$.

Поскольку точка $M$ лежит на отрезке $AB$, векторы $\vec{AM}$ и $\vec{AB}$ сонаправлены. Следовательно, можно записать векторное равенство, связывающее эти точки: $\vec{AM} = \frac{1}{4}\vec{AB}$.

Данное векторное равенство является определением гомотетии (преобразования подобия) с центром в точке $A$ и коэффициентом $k = \frac{1}{4}$. Обозначим эту гомотетию как $H_A^{1/4}$. Таким образом, каждая точка $M$ искомого множества является образом некоторой точки $B$ исходной окружности при этой гомотетии: $M = H_A^{1/4}(B)$.

Когда точка $B$ пробегает всю окружность $\omega$, множество образов $M$ образует фигуру, которая является образом окружности $\omega$ при гомотетии $H_A^{1/4}$. Согласно свойству гомотетии, образом окружности является окружность. Следовательно, искомое множество точек есть окружность, что и требовалось доказать.

Теперь определим положение центра этой новой окружности. Пусть новая окружность называется $\omega'$. Ее центр $O'$ является образом центра $O$ исходной окружности $\omega$ при той же гомотетии $H_A^{1/4}$. Это означает, что для точки $O'$ выполняется следующее векторное равенство: $\vec{AO'} = \frac{1}{4}\vec{AO}$.

Из этого равенства следует, что центр новой окружности $O'$ лежит на отрезке $AO$, соединяющем точку $A$ и центр исходной окружности $O$. При этом расстояние $AO'$ составляет $\frac{1}{4}$ от расстояния $AO$. Иными словами, точка $O'$ делит отрезок $AO$ в отношении $1:3$, считая от точки $A$.

Ответ: Искомое множество точек является окружностью. Центр этой окружности находится на отрезке, соединяющем точку $A$ с центром исходной окружности, и делит этот отрезок в отношении $1:3$, считая от точки $A$.

1340 Пусть М — точка, делящая медиану АА₁ треугольника АВС в отношении 2 : 1, считая от вершины, В₁ — середина стороны АС треугольника. Докажите, не используя свойство медиан, что при гомотетии с центром в точке М и коэффициентом k = – 12 отрезок АВ переходит в отрезок А₁В₁, причём точка А переходит в точку А₁, а точка В — в точку В₁.

Для доказательства утверждения мы воспользуемся определением гомотетии в векторной форме. Гомотетией с центром в точке $M$ и коэффициентом $k$ называется преобразование плоскости, при котором любая точка $X$ переходит в такую точку $X'$, что выполняется векторное равенство $\vec{MX'} = k \cdot \vec{MX}$. В нашей задаче $k = -\frac{1}{2}$.

Сначала докажем, что при этой гомотетии точка $A$ переходит в точку $A_1$.По условию, $M$ — точка на медиане $AA_1$, делящая её в отношении $AM : MA_1 = 2 : 1$, считая от вершины $A$. Это означает, что точки $A$, $M$ и $A_1$ лежат на одной прямой, причём $M$ находится между $A$ и $A_1$. Следовательно, векторы $\vec{MA}$ и $\vec{MA_1}$ коллинеарны и направлены в противоположные стороны. Отношение их длин составляет $|\vec{MA_1}| : |\vec{MA}| = 1:2$. Отсюда следует векторное соотношение: $\vec{MA_1} = -\frac{1}{2}\vec{MA}$.Это равенство в точности соответствует определению гомотетии с центром $M$ и коэффициентом $k = -\frac{1}{2}$. Таким образом, точка $A$ действительно переходит в точку $A_1$.

Теперь докажем, что точка $B$ переходит в точку $B_1$. Для этого нужно показать, что выполняется равенство $\vec{MB_1} = -\frac{1}{2}\vec{MB}$.Введём базисные векторы, отложенные от вершины $A$: пусть $\vec{AB} = \vec{b}$ и $\vec{AC} = \vec{c}$.

Выразим через базисные векторы положения точек $A_1$, $B_1$ и $M$ относительно точки $A$:

• $A_1$ — середина $BC$, поэтому $\vec{AA_1} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC}) = \frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{c})$.
• $B_1$ — середина $AC$, поэтому $\vec{AB_1} = \frac{1}{2}\vec{AC} = \frac{1}{2}\vec{c}$.
• $M$ делит $AA_1$ в отношении $2:1$, поэтому $\vec{AM} = \frac{2}{3}\vec{AA_1} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{c}) = \frac{1}{3}(\vec{b} + \vec{c})$.

Теперь найдём векторы $\vec{MB}$ и $\vec{MB_1}$, выразив их через разность векторов, идущих из начала координат $A$:
$\vec{MB} = \vec{AB} - \vec{AM} = \vec{b} - \frac{1}{3}(\vec{b} + \vec{c}) = \vec{b} - \frac{1}{3}\vec{b} - \frac{1}{3}\vec{c} = \frac{2}{3}\vec{b} - \frac{1}{3}\vec{c}$.
$\vec{MB_1} = \vec{AB_1} - \vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{c} - \frac{1}{3}(\vec{b} + \vec{c}) = -\frac{1}{3}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c} - \frac{1}{3}\vec{c} = -\frac{1}{3}\vec{b} + \frac{1}{6}\vec{c}$.

Проверим, выполняется ли для этих векторов условие гомотетии $\vec{MB_1} = -\frac{1}{2}\vec{MB}$.Найдём произведение $-\frac{1}{2}\vec{MB}$:
$-\frac{1}{2}\vec{MB} = -\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}\vec{b} - \frac{1}{3}\vec{c}\right) = -\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}\vec{b} - \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{3}\vec{c}\right) = -\frac{1}{3}\vec{b} + \frac{1}{6}\vec{c}$.
Мы видим, что полученное выражение в точности равно вектору $\vec{MB_1}$. Следовательно, равенство $\vec{MB_1} = -\frac{1}{2}\vec{MB}$ верно, и точка $B$ переходит в точку $B_1$.

Поскольку при гомотетии с центром $M$ и коэффициентом $k = -\frac{1}{2}$ концы отрезка $AB$ (точки $A$ и $B$) переходят в точки $A_1$ и $B_1$ соответственно, то по свойству гомотетии весь отрезок $AB$ переходит в отрезок $A_1B_1$.Таким образом, утверждение задачи полностью доказано.

Ответ: Доказано, что при гомотетии с центром в точке $M$ и коэффициентом $k=-\frac{1}{2}$ отрезок $AB$ переходит в отрезок $A_1B_1$, причём точка $A$ переходит в точку $A_1$, а точка $B$ — в точку $B_1$.

1341 Пользуясь предыдущей задачей, докажите теорему о точке пересечения медиан треугольника: три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины.

Для доказательства теоремы воспользуемся утверждением, которое, как предполагается, было доказано в предыдущей задаче. Это утверждение связывает точку на медиане с радиус-векторами вершин треугольника.

Предполагаемое утверждение из предыдущей задачи:
Если точка $M$ делит медиану $AA_1$ треугольника $ABC$ в отношении $AM:MA_1 = 2:1$, считая от вершины $A$, то ее радиус-вектор $\vec{OM}$ (где $O$ — произвольное начало отсчета) выражается формулой:
$\vec{OM} = \frac{1}{3}(\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC})$.

Доказательство теоремы о медианах:

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$. Проведем в нем три медианы: $AA_1$ (к стороне $BC$), $BB_1$ (к стороне $AC$) и $CC_1$ (к стороне $AB$). Пусть $\vec{a} = \vec{OA}$, $\vec{b} = \vec{OB}$ и $\vec{c} = \vec{OC}$ — радиус-векторы вершин треугольника относительно произвольной точки $O$.

1. Найдем точку на медиане $AA_1$, которая делит ее в отношении 2:1, считая от вершины $A$. Назовем эту точку $G$. Согласно нашему исходному утверждению, ее радиус-вектор $\vec{g}$ равен:
$\vec{g} = \frac{1}{3}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$.

2. Теперь покажем, что эта же точка $G$ лежит на двух других медианах и делит их в таком же отношении. Рассмотрим медиану $BB_1$. Точка $B_1$ является серединой стороны $AC$, поэтому ее радиус-вектор $\vec{b_1} = \vec{OB_1} = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2}$. Найдем радиус-вектор точки, делящей отрезок $BB_1$ в отношении $2:1$, считая от вершины $B$:
$\vec{g'} = \frac{1 \cdot \vec{OB} + 2 \cdot \vec{OB_1}}{1+2} = \frac{\vec{b} + 2 \left( \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2} \right)}{3} = \frac{\vec{b} + \vec{a} + \vec{c}}{3}$.
Так как $\vec{g'} = \vec{g}$, это та же самая точка $G$. Следовательно, точка $G$ лежит на медиане $BB_1$ и делит ее в отношении 2:1, считая от вершины $B$.

3. Аналогично для медианы $CC_1$. Точка $C_1$ является серединой стороны $AB$, ее радиус-вектор $\vec{c_1} = \vec{OC_1} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$. Найдем радиус-вектор точки, делящей отрезок $CC_1$ в отношении $2:1$, считая от вершины $C$:
$\vec{g''} = \frac{1 \cdot \vec{OC} + 2 \cdot \vec{OC_1}}{1+2} = \frac{\vec{c} + 2 \left( \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} \right)}{3} = \frac{\vec{c} + \vec{a} + \vec{b}}{3}$.
Так как $\vec{g''} = \vec{g}$, это снова та же самая точка $G$. Следовательно, точка $G$ лежит на медиане $CC_1$ и делит ее в отношении 2:1, считая от вершины $C$.

Вывод:

Мы показали, что точка $G$, которая делит медиану $AA_1$ в отношении 2:1, также лежит на медианах $BB_1$ и $CC_1$ и делит их в том же отношении 2:1, считая от вершины.
Это означает, что все три медианы проходят через одну и ту же точку $G$, и эта точка делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины.

Ответ: Теорема доказана.

1 Дайте определение подобных многоугольников.

1

Два многоугольника называются подобными, если они имеют одинаковое число сторон, и можно установить такое соответствие между их вершинами, при котором все соответственные углы равны, а все соответственные стороны пропорциональны.

Рассмотрим два n-угольника: $P_1$ с вершинами $A_1, A_2, \dots, A_n$ и $P_2$ с вершинами $B_1, B_2, \dots, B_n$. Эти многоугольники подобны (обозначается как $P_1 \sim P_2$), если одновременно выполняются два условия:

1. Равенство соответственных углов. Углы одного многоугольника, взятые в порядке обхода, равны углам другого многоугольника, взятым в том же порядке:
$\angle A_1 = \angle B_1, \angle A_2 = \angle B_2, \dots, \angle A_n = \angle B_n$.

2. Пропорциональность соответственных сторон. Стороны одного многоугольника, соединяющие соответственные вершины, пропорциональны сторонам другого:
$\frac{A_1A_2}{B_1B_2} = \frac{A_2A_3}{B_2B_3} = \dots = \frac{A_nA_1}{B_nB_1} = k$.

Число $k$ в этой пропорции называется коэффициентом подобия. Он показывает, во сколько раз стороны одного многоугольника больше (если $k > 1$) или меньше (если $k < 1$) соответственных сторон другого многоугольника. Если $k=1$, многоугольники равны.

Важно отметить, что для подобия многоугольников (с числом сторон более трех) необходимо выполнение обоих условий. Например, квадрат и прямоугольник, не являющийся квадратом, имеют равные углы (все по $90^\circ$), но их стороны не пропорциональны, поэтому они не подобны. В то же время, квадрат и ромб, не являющийся квадратом, могут иметь пропорциональные стороны, но их углы не равны, поэтому они также не подобны.

Ответ: Два многоугольника называются подобными, если их соответственные углы равны, а соответственные стороны пропорциональны.

2 Что называется коэффициентом подобия двух многоугольников?

Два многоугольника называются подобными, если их соответствующие углы равны, а длины их соответствующих (или, как их еще называют, сходственных) сторон пропорциональны.

Коэффициентом подобия двух многоугольников называется число, которое показывает, во сколько раз стороны одного многоугольника больше соответствующих сторон другого. Это число равно отношению длин любых двух соответствующих сторон.

Рассмотрим два подобных многоугольника: многоугольник $P_1$ со сторонами $a_1, a_2, \dots, a_n$ и многоугольник $P_2$ со сторонами $b_1, b_2, \dots, b_n$. Сторона $a_1$ соответствует стороне $b_1$, сторона $a_2$ — стороне $b_2$, и так далее.

Так как многоугольники подобны, то отношения их соответствующих сторон равны одному и тому же положительному числу $k$: $$k = \frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \dots = \frac{a_n}{b_n}$$ Это число $k$ и есть коэффициент подобия.

Важные свойства коэффициента подобия:

• Если $k > 1$, то первый многоугольник больше второго.
• Если $k < 1$, то первый многоугольник меньше второго.
• Если $k = 1$, то многоугольники равны (конгруэнтны).

Также стоит отметить, что отношение периметров подобных многоугольников равно коэффициенту подобия, а отношение их площадей — квадрату коэффициента подобия.

Ответ: Коэффициент подобия двух многоугольников — это число, равное отношению длин их соответствующих сторон.

3 Сформулируйте теорему о равенстве подобных многоугольников.

Теорема о равенстве подобных многоугольников устанавливает связь между понятиями подобия и равенства (конгруэнтности) фигур. Существует несколько эквивалентных формулировок, но наиболее фундаментальная из них связана с коэффициентом подобия.

Два подобных многоугольника равны тогда и только тогда, когда их коэффициент подобия равен единице.

Рассмотрим это утверждение более подробно. Оно состоит из двух частей:

1. Если два подобных многоугольника равны, то их коэффициент подобия равен 1.
Пусть многоугольник $M_1$ подобен многоугольнику $M_2$, и при этом $M_1$ равен $M_2$. Из равенства многоугольников следует, что все их соответственные элементы равны, в том числе и стороны. Если $a_1, a_2, ..., a_n$ — стороны многоугольника $M_1$, а $b_1, b_2, ..., b_n$ — соответственные им стороны многоугольника $M_2$, то $a_1 = b_1, a_2 = b_2, ..., a_n = b_n$.Коэффициент подобия $k$ по определению равен отношению длин соответственных сторон: $k = \frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = ... = \frac{a_n}{b_n}$.Поскольку числитель и знаменатель в каждой дроби равны, то $k = 1$.

2. Если коэффициент подобия двух многоугольников равен 1, то эти многоугольники равны.
Пусть многоугольник $M_1$ подобен многоугольнику $M_2$ с коэффициентом подобия $k = 1$. Из подобия многоугольников следует, что их соответственные углы равны. Из того, что коэффициент подобия равен 1, следует, что отношение их соответственных сторон равно единице: $\frac{a_i}{b_i} = 1$. Отсюда получаем, что $a_i = b_i$ для всех сторон.Таким образом, у многоугольников $M_1$ и $M_2$ равны все соответственные углы и все соответственные стороны. По определению, такие многоугольники являются равными.

Существует также важное следствие из теоремы об отношении площадей подобных многоугольников, которое служит альтернативной формулировкой:

Если площади двух подобных многоугольников равны, то эти многоугольники равны.
Это следует из того, что отношение площадей $S_1$ и $S_2$ подобных многоугольников равно квадрату коэффициента подобия: $\frac{S_1}{S_2} = k^2$. Если площади равны ($S_1 = S_2$), то их отношение равно 1, следовательно $k^2 = 1$. Так как $k$ — это отношение длин, он не может быть отрицательным, поэтому $k = 1$. А как мы уже доказали, если $k=1$, то многоугольники равны.

Ответ: Два подобных многоугольника равны тогда и только тогда, когда их коэффициент подобия равен 1.

4 Сформулируйте и докажите теорему о периметрах подобных многоугольников.

Формулировка теоремы

Отношение периметров двух подобных многоугольников равно их коэффициенту подобия (то есть отношению длин их соответственных сторон).

Доказательство

Пусть даны два подобных n-угольника $M_1$ и $M_2$.
Обозначим их соответственные стороны как $a_1, a_2, \dots, a_n$ для многоугольника $M_1$ и $b_1, b_2, \dots, b_n$ для многоугольника $M_2$.
Периметр многоугольника $M_1$ равен $P_1 = a_1 + a_2 + \dots + a_n$.
Периметр многоугольника $M_2$ равен $P_2 = b_1 + b_2 + \dots + b_n$.

По определению подобных многоугольников, отношение их соответственных сторон постоянно и равно коэффициенту подобия $k$:
$\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \dots = \frac{a_n}{b_n} = k$

Из этих равенств мы можем выразить длины сторон многоугольника $M_1$ через длины сторон многоугольника $M_2$ и коэффициент подобия $k$:
$a_1 = k \cdot b_1$
$a_2 = k \cdot b_2$
...
$a_n = k \cdot b_n$

Теперь найдем отношение периметров этих многоугольников, подставив полученные выражения для сторон $a_i$ в формулу периметра $P_1$:
$\frac{P_1}{P_2} = \frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{b_1 + b_2 + \dots + b_n} = \frac{k \cdot b_1 + k \cdot b_2 + \dots + k \cdot b_n}{b_1 + b_2 + \dots + b_n}$

Вынесем общий множитель $k$ за скобки в числителе:
$\frac{P_1}{P_2} = \frac{k(b_1 + b_2 + \dots + b_n)}{b_1 + b_2 + \dots + b_n}$

Так как сумма $b_1 + b_2 + \dots + b_n$ есть периметр $P_2$ (и он не равен нулю), мы можем сократить дробь на это выражение:
$\frac{P_1}{P_2} = k$

Таким образом, отношение периметров подобных многоугольников равно коэффициенту подобия. Теорема доказана.

Ответ: Отношение периметров подобных многоугольников равно их коэффициенту подобия. Если $P_1$ и $P_2$ — периметры подобных многоугольников, а $k$ — их коэффициент подобия, то $\frac{P_1}{P_2} = k$.