Номер 3, страница 353 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 15. § 3. Применение подобия фигур к доказательству теорем и решению задач. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 3, страница 353.

3 Сформулируйте теорему о равенстве подобных многоугольников.

Теорема о равенстве подобных многоугольников устанавливает связь между понятиями подобия и равенства (конгруэнтности) фигур. Существует несколько эквивалентных формулировок, но наиболее фундаментальная из них связана с коэффициентом подобия.

Два подобных многоугольника равны тогда и только тогда, когда их коэффициент подобия равен единице.

Рассмотрим это утверждение более подробно. Оно состоит из двух частей:

1. Если два подобных многоугольника равны, то их коэффициент подобия равен 1.
Пусть многоугольник $M_1$ подобен многоугольнику $M_2$, и при этом $M_1$ равен $M_2$. Из равенства многоугольников следует, что все их соответственные элементы равны, в том числе и стороны. Если $a_1, a_2, ..., a_n$ — стороны многоугольника $M_1$, а $b_1, b_2, ..., b_n$ — соответственные им стороны многоугольника $M_2$, то $a_1 = b_1, a_2 = b_2, ..., a_n = b_n$.Коэффициент подобия $k$ по определению равен отношению длин соответственных сторон: $k = \frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = ... = \frac{a_n}{b_n}$.Поскольку числитель и знаменатель в каждой дроби равны, то $k = 1$.

2. Если коэффициент подобия двух многоугольников равен 1, то эти многоугольники равны.
Пусть многоугольник $M_1$ подобен многоугольнику $M_2$ с коэффициентом подобия $k = 1$. Из подобия многоугольников следует, что их соответственные углы равны. Из того, что коэффициент подобия равен 1, следует, что отношение их соответственных сторон равно единице: $\frac{a_i}{b_i} = 1$. Отсюда получаем, что $a_i = b_i$ для всех сторон.Таким образом, у многоугольников $M_1$ и $M_2$ равны все соответственные углы и все соответственные стороны. По определению, такие многоугольники являются равными.

Существует также важное следствие из теоремы об отношении площадей подобных многоугольников, которое служит альтернативной формулировкой:

Если площади двух подобных многоугольников равны, то эти многоугольники равны.
Это следует из того, что отношение площадей $S_1$ и $S_2$ подобных многоугольников равно квадрату коэффициента подобия: $\frac{S_1}{S_2} = k^2$. Если площади равны ($S_1 = S_2$), то их отношение равно 1, следовательно $k^2 = 1$. Так как $k$ — это отношение длин, он не может быть отрицательным, поэтому $k = 1$. А как мы уже доказали, если $k=1$, то многоугольники равны.

Ответ: Два подобных многоугольника равны тогда и только тогда, когда их коэффициент подобия равен 1.