Номер 5, страница 354 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 15. § 3. Применение подобия фигур к доказательству теорем и решению задач. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 5, страница 354.

5 Сформулируйте и докажите теорему о площадях подобных многоугольников.

Формулировка теоремы

Отношение площадей двух подобных многоугольников равно квадрату их коэффициента подобия.

Если многоугольник $P$ подобен многоугольнику $P'$ ($P \sim P'$) с коэффициентом подобия $k$, а их площади равны $S$ и $S'$ соответственно, то выполняется равенство:

$\frac{S}{S'} = k^2$

Доказательство теоремы

Пусть даны два подобных n-угольника $P = A_1A_2...A_n$ и $P' = A'_1A'_2...A'_n$.

По определению подобных многоугольников, их соответственные углы равны, а соответственные стороны пропорциональны:

$\angle A_1 = \angle A'_1, \angle A_2 = \angle A'_2, ..., \angle A_n = \angle A'_n$

$\frac{A_1A_2}{A'_1A'_2} = \frac{A_2A_3}{A'_2A'_3} = ... = \frac{A_nA_1}{A'_nA'_1} = k$, где $k$ — коэффициент подобия.

Разобьем каждый многоугольник на треугольники, проведя все диагонали из одной соответственной вершины, например, из $A_1$ и $A'_1$. В результате многоугольник $P$ разобьется на $n-2$ треугольника: $\triangle A_1A_2A_3, \triangle A_1A_3A_4, ..., \triangle A_1A_{n-1}A_n$. Аналогично, многоугольник $P'$ разобьется на $n-2$ треугольника: $\triangle A'_1A'_2A'_3, \triangle A'_1A'_3A'_4, ..., \triangle A'_1A'_{n-1}A'_n$.

Докажем, что полученные соответственные треугольники подобны.

1. Рассмотрим первую пару треугольников: $\triangle A_1A_2A_3$ и $\triangle A'_1A'_2A'_3$.

• У них есть равные углы: $\angle A_2 = \angle A'_2$ (из подобия многоугольников).
• Стороны, образующие этот угол, пропорциональны: $\frac{A_1A_2}{A'_1A'_2} = \frac{A_2A_3}{A'_2A'_3} = k$.

Следовательно, по второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними), $\triangle A_1A_2A_3 \sim \triangle A'_1A'_2A'_3$ с коэффициентом подобия $k$.

2. Из подобия этих треугольников следует, что $\frac{A_1A_3}{A'_1A'_3} = k$ и $\angle A_1A_3A_2 = \angle A'_1A'_3A'_2$.

3. Рассмотрим вторую пару треугольников: $\triangle A_1A_3A_4$ и $\triangle A'_1A'_3A'_4$.

• Из подобия исходных многоугольников мы знаем, что $\angle A_3 = \angle A'_3$. Тогда $\angle A_1A_3A_4 = \angle A_3 - \angle A_1A_3A_2 = \angle A'_3 - \angle A'_1A'_3A'_2 = \angle A'_1A'_3A'_4$. Таким образом, углы $\angle A_1A_3A_4$ и $\angle A'_1A'_3A'_4$ равны.
• Стороны, образующие эти углы, пропорциональны: $\frac{A_1A_3}{A'_1A'_3} = k$ (из предыдущего шага) и $\frac{A_3A_4}{A'_3A'_4} = k$ (из подобия многоугольников).

Следовательно, $\triangle A_1A_3A_4 \sim \triangle A'_1A'_3A'_4$ с тем же коэффициентом подобия $k$.

Продолжая этот процесс, мы докажем, что все $n-2$ пар соответственных треугольников подобны с одним и тем же коэффициентом подобия $k$.

Площадь многоугольника равна сумме площадей треугольников, на которые он разбит. Обозначим площади треугольников, составляющих многоугольник $P$, как $S_1, S_2, ..., S_{n-2}$, а площади соответствующих треугольников многоугольника $P'$ — как $S'_1, S'_2, ..., S'_{n-2}$.

Площадь многоугольника $P$: $S = S_1 + S_2 + ... + S_{n-2}$.

Площадь многоугольника $P'$: $S' = S'_1 + S'_2 + ... + S'_{n-2}$.

Известно, что отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента их подобия. Поэтому для каждой пары треугольников верно:

$\frac{S_1}{S'_1} = k^2 \implies S_1 = k^2 S'_1$

$\frac{S_2}{S'_2} = k^2 \implies S_2 = k^2 S'_2$

...

$\frac{S_{n-2}}{S'_{n-2}} = k^2 \implies S_{n-2} = k^2 S'_{n-2}$

Теперь найдем отношение площадей многоугольников:

$\frac{S}{S'} = \frac{S_1 + S_2 + ... + S_{n-2}}{S'_1 + S'_2 + ... + S'_{n-2}} = \frac{k^2 S'_1 + k^2 S'_2 + ... + k^2 S'_{n-2}}{S'_1 + S'_2 + ... + S'_{n-2}}$

Вынесем общий множитель $k^2$ в числителе:

$\frac{S}{S'} = \frac{k^2 (S'_1 + S'_2 + ... + S'_{n-2})}{S'_1 + S'_2 + ... + S'_{n-2}} = k^2$

Таким образом, $\frac{S}{S'} = k^2$, что и требовалось доказать.

Ответ: Теорема гласит, что отношение площадей двух подобных многоугольников равно квадрату их коэффициента подобия ($k$). Если $S$ и $S'$ — площади подобных многоугольников, то $\frac{S}{S'} = k^2$. Теорема доказана путем разбиения многоугольников на подобные треугольники и суммирования их площадей.