Номер 7, страница 354 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 15. § 3. Применение подобия фигур к доказательству теорем и решению задач. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 7, страница 354.

7 Что мы понимаем под центром гомотетии и коэффициентом гомотетии двух фигур? Может ли коэффициент гомотетии быть отрицательным?

Что мы понимаем под центром гомотетии и коэффициентом гомотетии двух фигур?

Гомотетия — это геометрическое преобразование, при котором для некоторой фиксированной точки $O$ (центра гомотетии) и некоторого ненулевого числа $k$ (коэффициента гомотетии) любая точка $M$ плоскости или пространства переходит в точку $M'$ так, что выполняется векторное равенство $\vec{OM'} = k \cdot \vec{OM}$.

Центр гомотетии ($O$) — это единственная неподвижная точка, относительно которой происходит преобразование. Все точки фигуры и их образы лежат на прямых, проходящих через центр гомотетии. Если фигура $F_1$ переходит в фигуру $F_2$ в результате гомотетии, то точка $O$ называется центром гомотетии этих двух фигур.

Коэффициент гомотетии ($k$) — это число, которое определяет, как изменяется расстояние от центра до точек фигуры и как ориентирован образ.

• Абсолютное значение $|k|$ показывает, во сколько раз фигура-образ больше или меньше исходной фигуры. То есть, $|k|$ — это коэффициент подобия.
• Знак коэффициента $k$ определяет расположение образа относительно центра.

Таким образом, если фигура $F'$ получена из фигуры $F$ гомотетией с центром $O$ и коэффициентом $k$, то для любой пары соответствующих точек $M \in F$ и $M' \in F'$ верно, что точки $O, M, M'$ лежат на одной прямой и выполняется соотношение $\vec{OM'} = k \cdot \vec{OM}$.

Ответ: Центр гомотетии — это неподвижная точка, через которую проходят прямые, соединяющие соответственные точки двух гомотетичных фигур. Коэффициент гомотетии — это число, равное отношению расстояний от центра до соответственных точек образа и прообраза, взятое со знаком плюс или минус в зависимости от их взаимного расположения.

Может ли коэффициент гомотетии быть отрицательным?

Да, коэффициент гомотетии $k$ может быть отрицательным числом ($k < 0$). Это следует непосредственно из определения гомотетии.

Рассмотрим, что это означает геометрически:

• Если $k > 0$, то гомотетия называется прямой. Точка-образ $M'$ лежит на луче $OM$. Векторы $\vec{OM}$ и $\vec{OM'}$ сонаправлены.
• Если $k < 0$, то гомотетия называется обратной. Точка-образ $M'$ лежит на луче, дополнительном к лучу $OM$, то есть центр гомотетии $O$ находится между точкой $M$ и её образом $M'$. Векторы $\vec{OM}$ и $\vec{OM'}$ противоположно направлены.

Обратная гомотетия с коэффициентом $k$ эквивалентна выполнению двух преобразований: прямой гомотетии с коэффициентом $|k|$ и центральной симметрии относительно центра $O$.

Частным случаем является гомотетия с коэффициентом $k=-1$. В этом случае $\vec{OM'} = -1 \cdot \vec{OM}$, что является определением центральной симметрии относительно точки $O$.

Ответ: Да, может. Отрицательный коэффициент гомотетии означает, что фигура-образ не только масштабируется, но и "переворачивается" относительно центра гомотетии, располагаясь с противоположной стороны от него.