Номер 9, страница 354 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 15. § 3. Применение подобия фигур к доказательству теорем и решению задач. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 9, страница 354.

9 Сформулируйте основные свойства гомотетии.

Гомотетия (или преобразование подобия) с центром $O$ и коэффициентом $k$ (где $k$ — действительное число, не равное нулю) — это преобразование плоскости или пространства, при котором каждая точка $M$ переходит в такую точку $M'$, что выполняется векторное равенство $\vec{OM'} = k \cdot \vec{OM}$.

Основные свойства гомотетии:

1. Коллинеарность
Центр гомотетии $O$, любая точка $M$ (не совпадающая с $O$) и ее образ $M'$ лежат на одной прямой. Это следует непосредственно из определения $\vec{OM'} = k \cdot \vec{OM}$, так как векторы $\vec{OM'}$ и $\vec{OM}$ коллинеарны. Если $k > 0$, то точки $M$ и $M'$ лежат по одну сторону от центра $O$. Если $k < 0$, то они лежат по разные стороны от $O$.
Ответ: Центр гомотетии, исходная точка и ее образ всегда лежат на одной прямой.

2. Преобразование прямых
При гомотетии любая прямая $a$ переходит в параллельную ей прямую $a'$ ($a \parallel a'$). Исключением является случай, когда прямая проходит через центр гомотетии $O$ — тогда она переходит сама в себя (является инвариантной).
Ответ: Прямая переходит либо в параллельную ей прямую, либо в себя.

3. Сохранение углов
Гомотетия сохраняет углы между прямыми. Если две прямые пересекаются под некоторым углом, то их образы при гомотетии будут пересекаться под тем же углом. Это прямое следствие того, что прямые переходят в параллельные им прямые.
Ответ: Гомотетия является конформным преобразованием, то есть сохраняет величины углов.

4. Изменение расстояний
Расстояние между образами любых двух точек $A'$ и $B'$ в $|k|$ раз отличается от расстояния между исходными точками $A$ и $B$. Математически это выражается формулой: $A'B' = |k| \cdot AB$.
Ответ: Расстояние между точками умножается на модуль коэффициента гомотетии.

5. Преобразование фигур
Гомотетия переводит любую фигуру $F$ в подобную ей фигуру $F'$. Коэффициент подобия равен $|k|$. Например, отрезок переходит в отрезок, треугольник — в подобный ему треугольник, окружность — в окружность (причем центр окружности-образа является образом центра исходной окружности, а радиус умножается на $|k|$).
Ответ: Любая фигура переходит в подобную ей фигуру с коэффициентом подобия $|k|$.

6. Изменение площадей и объемов
Площадь образа фигуры $S'$ связана с площадью исходной фигуры $S$ соотношением $S' = k^2 \cdot S$. Объем образа тела $V'$ связан с объемом исходного тела $V$ соотношением $V' = |k|^3 \cdot V$.
Ответ: Площадь фигуры изменяется в $k^2$ раз, а объем — в $|k|^3$ раз.

7. Неподвижные точки
Если коэффициент гомотетии $k \ne 1$, то единственной неподвижной точкой (точкой, которая переходит сама в себя) является центр гомотетии $O$. Если $k=1$, то гомотетия является тождественным преобразованием, и все точки плоскости (пространства) неподвижны. Если $k=-1$, гомотетия является центральной симметрией относительно центра $O$.
Ответ: При $k \ne 1$ единственной неподвижной точкой является центр гомотетии.

8. Композиция гомотетий
Композиция (последовательное выполнение) двух гомотетий с общим центром $O$ и коэффициентами $k_1$ и $k_2$ является гомотетией с тем же центром $O$ и коэффициентом $k = k_1 \cdot k_2$.
Ответ: Композиция гомотетий с общим центром является гомотетией с произведением коэффициентов.