Номер 16, страница 354 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 15. § 3. Применение подобия фигур к доказательству теорем и решению задач. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 16, страница 354.

16 Гомотетия задана центром О и двумя соответственными точками А и А₁. Объясните, как построить фигуру F₁, гомотетичную данной фигуре F, если фигура F является: а) точкой; б) многоугольником; в) окружностью.

Гомотетия задана центром $O$ и парой соответственных точек $A$ и $A_1$. Это означает, что для любой точки $X$ ее образ $X_1$ при этой гомотетии лежит на прямой $OX$, и выполняется векторное равенство $\vec{OX_1} = k \cdot \vec{OX}$. Коэффициент гомотетии $k$ определяется из соотношения $\vec{OA_1} = k \cdot \vec{OA}$. Отсюда следует, что $k = \frac{|\vec{OA_1}|}{|\vec{OA}|}$, если точки $A$ и $A_1$ лежат по одну сторону от центра $O$ (то есть на одном луче с началом в $O$), и $k = -\frac{|\vec{OA_1}|}{|\vec{OA}|}$, если они лежат по разные стороны от $O$.

Для построения образа $X_1$ произвольной точки $X$ можно применить следующий универсальный геометрический метод, основанный на подобии треугольников (или обобщенной теореме Фалеса):

1. Провести прямую через центр гомотетии $O$ и данную точку $X$.
2. Провести прямую через точки $A$ и $X$.
3. Через точку $A_1$ провести прямую, параллельную прямой $AX$.
4. Точка пересечения прямой $OX$ (из шага 1) и построенной параллельной прямой (из шага 3) и будет искомым образом $X_1$ точки $X$.

Этот метод используется для решения всех подпунктов задачи.

а) фигура $F$ является точкой

Пусть данная фигура $F$ — это точка $B$. Нам нужно построить ее образ, фигуру $F_1$, которая также будет точкой $B_1$. Построение выполняется в соответствии с универсальным методом, описанным выше, где в качестве точки $X$ берется точка $B$.

Алгоритм построения:

1. Провести прямую через центр $O$ и точку $B$.
2. Провести прямую через точки $A$ и $B$.
3. Провести через точку $A_1$ прямую, параллельную прямой $AB$.
4. Точка пересечения прямой $OB$ и параллельной прямой, построенной на шаге 3, является искомой точкой $B_1$.

Ответ: Фигура $F_1$ является точкой $B_1$, построенной указанным способом.

б) фигура $F$ является многоугольником

При гомотетии многоугольник переходит в подобный ему многоугольник. Вершины нового многоугольника являются образами вершин исходного многоугольника. Пусть $F$ — это многоугольник с вершинами $V_1, V_2, \dots, V_n$. Чтобы построить гомотетичный ему многоугольник $F_1$, нужно построить образы всех его вершин.

Алгоритм построения:

1. Для каждой вершины $V_i$ (где $i$ от 1 до $n$) исходного многоугольника $F$ найти ее образ $V_{i1}$, используя универсальный метод построения для одной точки, описанный в пункте а).
2. Последовательно соединить полученные точки-образы $V_{11}, V_{21}, \dots, V_{n1}$ отрезками.

Полученный многоугольник $V_{11}V_{21}\dots V_{n1}$ и есть искомая фигура $F_1$.

Ответ: Фигура $F_1$ является многоугольником, вершины которого $V_{11}, V_{21}, \dots, V_{n1}$ являются образами вершин $V_1, V_2, \dots, V_n$ исходного многоугольника $F$, построенными с помощью гомотетии.

в) фигура $F$ является окружностью

При гомотетии окружность переходит в окружность. Окружность однозначно задается своим центром и радиусом. Пусть исходная окружность $F$ имеет центр в точке $C$ и радиус $r$. Чтобы построить ее образ $F_1$, нужно найти новый центр $C_1$ и новый радиус $r_1$.

Алгоритм построения:

1. Построение центра новой окружности $C_1$. Центр $C_1$ новой окружности является образом центра $C$ исходной окружности. Для его нахождения применяется универсальный метод построения для точки (как в пункте а)).
2. Построение радиуса новой окружности $r_1$. Радиус $r_1$ искомой окружности связан с радиусом $r$ исходной соотношением $r_1 = |k| \cdot r$, где $k$ — коэффициент гомотетии. Чтобы построить отрезок, равный $r_1$, можно поступить следующим образом:
   1. Выбрать любую точку $P$ на исходной окружности $F$.
   2. Построить ее образ $P_1$, используя универсальный метод.
   3. Длина отрезка $C_1P_1$ будет равна новому радиусу $r_1$.
3. Построение искомой окружности $F_1$. С помощью циркуля построить окружность с центром в точке $C_1$ и радиусом, равным длине отрезка $C_1P_1$.

Ответ: Фигура $F_1$ является окружностью с центром $C_1$ (образ центра $C$ исходной окружности) и радиусом $r_1 = |C_1P_1|$, где $P_1$ - образ произвольной точки $P$ на исходной окружности.