Номер 10, страница 354 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 15. § 3. Применение подобия фигур к доказательству теорем и решению задач. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 10, страница 354.

10 Верно ли, что при гомотетии окружность переходит в окружность?

Да, это утверждение верно. При гомотетии любая окружность переходит в окружность.

Доказательство:

Пусть дана окружность $\omega$ с центром в точке $C$ и радиусом $R$. Пусть также задана гомотетия $H$ с центром в точке $O$ и коэффициентом $k$ (где $k \neq 0$). Нам нужно доказать, что образ окружности $\omega$ при этой гомотетии, который мы обозначим как $\omega'$, также является окружностью.

1. Возьмем произвольную точку $M$ на исходной окружности $\omega$. По определению окружности, расстояние от ее центра $C$ до точки $M$ равно радиусу: $|CM| = R$.

2. При гомотетии $H$ центр исходной окружности $C$ переходит в некоторую точку $C'$, а произвольная точка $M$ на окружности переходит в точку $M'$. По определению гомотетии, для этих точек выполняются следующие векторные равенства:
$\vec{OC'} = k \cdot \vec{OC}$
$\vec{OM'} = k \cdot \vec{OM}$

3. Найдем расстояние между точками $C'$ и $M'$. Для этого выразим вектор $\vec{C'M'}$:
$\vec{C'M'} = \vec{OM'} - \vec{OC'}$
Подставим в это равенство выражения из определения гомотетии:
$\vec{C'M'} = k \cdot \vec{OM} - k \cdot \vec{OC} = k \cdot (\vec{OM} - \vec{OC})$
Так как $\vec{OM} - \vec{OC} = \vec{CM}$, получаем:
$\vec{C'M'} = k \cdot \vec{CM}$

4. Теперь найдем длину вектора $\vec{C'M'}$, которая и будет расстоянием между точками $C'$ и $M'$.
$|C'M'| = |\vec{C'M'}| = |k \cdot \vec{CM}| = |k| \cdot |\vec{CM}|$
Поскольку точка $M$ лежит на исходной окружности, мы знаем, что $|\vec{CM}| = R$. Следовательно:
$|C'M'| = |k| \cdot R$

5. Мы получили, что любая точка $M'$ образа окружности $\omega$ находится на постоянном расстоянии от фиксированной точки $C'$ (образа центра $C$). Это постоянное расстояние равно $R' = |k| \cdot R$. По определению, множество всех таких точек $M'$ является окружностью $\omega'$ с центром в точке $C'$ и радиусом $R' = |k| \cdot R$.

Таким образом, гомотетия переводит окружность в окружность.

Ответ: Да, верно.