Номер 4, страница 353 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 15. § 3. Применение подобия фигур к доказательству теорем и решению задач. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 4, страница 353.

4 Сформулируйте и докажите теорему о периметрах подобных многоугольников.

Формулировка теоремы

Отношение периметров двух подобных многоугольников равно их коэффициенту подобия (то есть отношению длин их соответственных сторон).

Доказательство

Пусть даны два подобных n-угольника $M_1$ и $M_2$.
Обозначим их соответственные стороны как $a_1, a_2, \dots, a_n$ для многоугольника $M_1$ и $b_1, b_2, \dots, b_n$ для многоугольника $M_2$.
Периметр многоугольника $M_1$ равен $P_1 = a_1 + a_2 + \dots + a_n$.
Периметр многоугольника $M_2$ равен $P_2 = b_1 + b_2 + \dots + b_n$.

По определению подобных многоугольников, отношение их соответственных сторон постоянно и равно коэффициенту подобия $k$:
$\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \dots = \frac{a_n}{b_n} = k$

Из этих равенств мы можем выразить длины сторон многоугольника $M_1$ через длины сторон многоугольника $M_2$ и коэффициент подобия $k$:
$a_1 = k \cdot b_1$
$a_2 = k \cdot b_2$
...
$a_n = k \cdot b_n$

Теперь найдем отношение периметров этих многоугольников, подставив полученные выражения для сторон $a_i$ в формулу периметра $P_1$:
$\frac{P_1}{P_2} = \frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{b_1 + b_2 + \dots + b_n} = \frac{k \cdot b_1 + k \cdot b_2 + \dots + k \cdot b_n}{b_1 + b_2 + \dots + b_n}$

Вынесем общий множитель $k$ за скобки в числителе:
$\frac{P_1}{P_2} = \frac{k(b_1 + b_2 + \dots + b_n)}{b_1 + b_2 + \dots + b_n}$

Так как сумма $b_1 + b_2 + \dots + b_n$ есть периметр $P_2$ (и он не равен нулю), мы можем сократить дробь на это выражение:
$\frac{P_1}{P_2} = k$

Таким образом, отношение периметров подобных многоугольников равно коэффициенту подобия. Теорема доказана.

Ответ: Отношение периметров подобных многоугольников равно их коэффициенту подобия. Если $P_1$ и $P_2$ — периметры подобных многоугольников, а $k$ — их коэффициент подобия, то $\frac{P_1}{P_2} = k$.