Номер 8, страница 354 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 15. § 3. Применение подобия фигур к доказательству теорем и решению задач. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 8, страница 354.

8 Что представляет собой гомотетия с коэффициентом k, если: а) k = 1, б) k = –1?

Гомотетия (или преобразование подобия) с центром в точке $O$ и коэффициентом $k$ — это преобразование плоскости, при котором каждая точка $M$ переходит в такую точку $M'$, что выполняется векторное равенство: $\vec{OM'} = k \cdot \vec{OM}$.

а) Рассмотрим случай, когда коэффициент гомотетии $k = 1$.
Согласно определению, для любой точки $M$ её образ $M'$ определяется условием $\vec{OM'} = 1 \cdot \vec{OM}$, что равносильно $\vec{OM'} = \vec{OM}$.
Это означает, что радиус-вектор точки $M'$ равен радиус-вектору точки $M$ относительно центра гомотетии $O$. Следовательно, для любой точки $M$ её образ $M'$ совпадает с самой точкой $M$.
Преобразование, которое оставляет все точки на месте (то есть отображает каждую точку в саму себя), называется тождественным преобразованием.
Таким образом, гомотетия с коэффициентом $k=1$ является тождественным преобразованием.
Ответ: Тождественное преобразование.

б) Рассмотрим случай, когда коэффициент гомотетии $k = -1$.
Согласно определению, для любой точки $M$ её образ $M'$ определяется условием $\vec{OM'} = -1 \cdot \vec{OM}$, что равносильно $\vec{OM'} = -\vec{OM}$.
Это векторное равенство означает, что:
1. Векторы $\vec{OM'}$ и $\vec{OM}$ коллинеарны, а значит точки $M$, $O$ и $M'$ лежат на одной прямой.
2. Векторы $\vec{OM'}$ и $\vec{OM}$ противоположно направлены, значит точка $O$ лежит между точками $M$ и $M'$.
3. Длины векторов равны: $|\vec{OM'}| = |-1| \cdot |\vec{OM}| = |\vec{OM}|$. Это означает, что расстояния $OM'$ и $OM$ равны.
Из этих условий следует, что точка $O$ является серединой отрезка $MM'$.
Преобразование, при котором каждая точка $M$ отображается в такую точку $M'$, что заданная точка $O$ является серединой отрезка $MM'$, называется центральной симметрией относительно центра $O$.
Таким образом, гомотетия с коэффициентом $k=-1$ является центральной симметрией относительно центра гомотетии.
Ответ: Центральная симметрия относительно центра гомотетии.