Номер 1, страница 353 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 15. § 3. Применение подобия фигур к доказательству теорем и решению задач. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1, страница 353.

1 Дайте определение подобных многоугольников.

1

Два многоугольника называются подобными, если они имеют одинаковое число сторон, и можно установить такое соответствие между их вершинами, при котором все соответственные углы равны, а все соответственные стороны пропорциональны.

Рассмотрим два n-угольника: $P_1$ с вершинами $A_1, A_2, \dots, A_n$ и $P_2$ с вершинами $B_1, B_2, \dots, B_n$. Эти многоугольники подобны (обозначается как $P_1 \sim P_2$), если одновременно выполняются два условия:

1. Равенство соответственных углов. Углы одного многоугольника, взятые в порядке обхода, равны углам другого многоугольника, взятым в том же порядке:
$\angle A_1 = \angle B_1, \angle A_2 = \angle B_2, \dots, \angle A_n = \angle B_n$.

2. Пропорциональность соответственных сторон. Стороны одного многоугольника, соединяющие соответственные вершины, пропорциональны сторонам другого:
$\frac{A_1A_2}{B_1B_2} = \frac{A_2A_3}{B_2B_3} = \dots = \frac{A_nA_1}{B_nB_1} = k$.

Число $k$ в этой пропорции называется коэффициентом подобия. Он показывает, во сколько раз стороны одного многоугольника больше (если $k > 1$) или меньше (если $k < 1$) соответственных сторон другого многоугольника. Если $k=1$, многоугольники равны.

Важно отметить, что для подобия многоугольников (с числом сторон более трех) необходимо выполнение обоих условий. Например, квадрат и прямоугольник, не являющийся квадратом, имеют равные углы (все по $90^\circ$), но их стороны не пропорциональны, поэтому они не подобны. В то же время, квадрат и ромб, не являющийся квадратом, могут иметь пропорциональные стороны, но их углы не равны, поэтому они также не подобны.

Ответ: Два многоугольника называются подобными, если их соответственные углы равны, а соответственные стороны пропорциональны.