Номер 1337, страница 352 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

137. Применение подобия к решению задач. § 3. Применение подобия фигур к доказательству теорем и решению задач. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1337, страница 352.

1337 Дана прямая l и точка О, не лежащая на ней. Используя гомотетию с центром в точке О, докажите, что множество середин всех отрезков OX, где X — любая точка прямой l, есть прямая, параллельная прямой l.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся гомотетией. Рассмотрим гомотетию $H$ с центром в точке $O$ и коэффициентом $k = \frac{1}{2}$.

Пусть $X$ — это произвольная точка, принадлежащая прямой $l$. Пусть точка $M$ является серединой отрезка $OX$. По определению середины отрезка, точка $M$ лежит на прямой $OX$ и удовлетворяет векторному равенству:

$\vec{OM} = \frac{1}{2}\vec{OX}$

Это равенство в точности соответствует определению гомотетии с центром $O$ и коэффициентом $k = \frac{1}{2}$, которая преобразует точку $X$ в точку $M$. Таким образом, каждая середина $M$ отрезка $OX$ является образом точки $X$ при данной гомотетии $H$.

Множество всех середин $M$ отрезков $OX$ (для всех точек $X$ на прямой $l$) является множеством образов всех точек прямой $l$ при гомотетии $H$. Обозначим это множество точек как $l'$. Таким образом, $l'$ есть образ прямой $l$ при гомотетии $H$: $l' = H(l)$.

Воспользуемся основными свойствами гомотетии:

1. Образом прямой при гомотетии является прямая. Следовательно, множество $l'$ является прямой линией.
2. Образ прямой, не проходящей через центр гомотетии, есть прямая, параллельная исходной. По условию задачи точка $O$ (центр гомотетии) не лежит на прямой $l$. Значит, прямая-образ $l'$ параллельна исходной прямой $l$ ($l' \parallel l$).

Таким образом, мы доказали, что множество середин всех отрезков $OX$, где $X$ — любая точка прямой $l$, есть прямая, параллельная прямой $l$.

Ответ: Искомое множество точек является образом прямой $l$ при гомотетии с центром в точке $O$ и коэффициентом $k = \frac{1}{2}$. По свойствам гомотетии, образом прямой является прямая, параллельная данной (так как центр гомотетии не лежит на исходной прямой). Что и требовалось доказать.