Номер 1335, страница 352 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

137. Применение подобия к решению задач. § 3. Применение подобия фигур к доказательству теорем и решению задач. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1335, страница 352.

1335 В треугольник АВС впишите прямоугольник PQRS, подобный прямоугольнику P₁Q₁R₁S₁, так, чтобы вершины P и Q принадлежали стороне АС, а вершины R и S — соответственно сторонам ВС и ВА.

Данная задача на построение решается с помощью метода гомотетии (преобразования подобия). Идея заключается в том, чтобы сначала построить вспомогательный прямоугольник, подобный данному, который удовлетворяет части условий, а затем, с помощью гомотетии, преобразовать его в искомый прямоугольник, удовлетворяющий всем условиям задачи.

Анализ

Предположим, что искомый прямоугольник $PQRS$ уже построен. По условию, его вершины $P$ и $Q$ лежат на стороне $AC$, вершина $R$ — на стороне $BC$, и вершина $S$ — на стороне $BA$. Поскольку $PQRS$ является прямоугольником, его сторона $SR$ параллельна стороне $PQ$, а значит, и всей прямой $AC$.

Рассмотрим треугольники $\triangle BAC$ и $\triangle BSR$. У них общий угол при вершине $B$, а углы $\angle BSR$ и $\angle BAC$ равны как соответственные при параллельных прямых $SR$ и $AC$ и секущей $BA$. Следовательно, треугольник $\triangle BSR$ подобен треугольнику $\triangle BAC$.

Это означает, что искомый прямоугольник $PQRS$ можно рассматривать как результат гомотетии с центром в точке $B$, примененной к некоторой другой фигуре. Это наблюдение является ключом к построению.

Построение

Алгоритм построения искомого прямоугольника состоит из следующих шагов:

1. Построение вспомогательного прямоугольника. Сначала построим прямоугольник $P'Q'R'S'$, подобный заданному прямоугольнику $P_1Q_1R_1S_1$, так, чтобы три его вершины лежали на сторонах треугольника $ABC$.
   • На стороне $AB$ треугольника $ABC$ выберем произвольную точку $S'$.
   • Из точки $S'$ опустим перпендикуляр $S'P'$ на сторону $AC$.
   • Теперь на прямой $AC$ нужно построить отрезок $P'Q'$ так, чтобы отношение сторон было равно отношению сторон заданного прямоугольника: $\frac{P'Q'}{S'P'} = \frac{P_1Q_1}{Q_1R_1}$. Это можно сделать, построив прямоугольный треугольник, подобный треугольнику со сторонами $P_1Q_1$ и $Q_1R_1$. Построим на отрезке $S'P'$ как на катете прямоугольный треугольник $\triangle S'P'Q''$, подобный прямоугольному треугольнику с катетами $Q_1R_1$ и $P_1Q_1$. Длина катета $P'Q''$ и будет искомой длиной стороны. Отложим отрезок $P'Q'$ равной длины на прямой $AC$ от точки $P'$.
   • Завершим построение прямоугольника $P'Q'R'S'$, проведя через точку $Q'$ прямую, перпендикулярную $AC$, и через точку $S'$ — прямую, параллельную $AC$. Точка их пересечения даст нам вершину $R'$.
   В результате мы получили прямоугольник $P'Q'R'S'$, подобный данному. Его вершины $S'$, $P'$ и $Q'$ лежат на сторонах треугольника, но вершина $R'$, в общем случае, не лежит на стороне $BC$.
2. Построение искомого прямоугольника. Используем гомотетию с центром в точке $B$, чтобы "поместить" вершину $R'$ на сторону $BC$.
   • Проведем луч из вершины $B$ через точку $R'$. Точка пересечения этого луча со стороной $BC$ и будет вершиной $R$ искомого прямоугольника.
   • Из полученной точки $R$ опустим перпендикуляр $RQ$ на сторону $AC$. Это вершина $Q$.
   • Через точку $R$ проведем прямую, параллельную стороне $AC$. Точка ее пересечения со стороной $AB$ будет вершиной $S$.
   • Из точки $S$ опустим перпендикуляр $SP$ на сторону $AC$. Это вершина $P$.

Четырехугольник $PQRS$ является искомым прямоугольником.

Доказательство

Необходимо доказать, что построенный четырехугольник $PQRS$ удовлетворяет всем условиям задачи.

• По построению, $RQ \perp AC$ и $SP \perp AC$, следовательно, $SP \parallel RQ$. Также по построению $SR \parallel AC$, а значит $SR \parallel PQ$. Так как $PQRS$ — это параллелограмм с прямым углом ($\angle SPQ = 90^\circ$), то $PQRS$ является прямоугольником.
• Вершины $P, Q$ лежат на $AC$, вершина $R$ лежит на $BC$, и вершина $S$ лежит на $AB$ согласно шагам построения.
• Рассмотрим гомотетию с центром в точке $B$, которая переводит точку $R'$ в точку $R$. Поскольку $SR \parallel S'R'$, эта гомотетия переводит $S'$ в $S$. Аналогично, она переводит весь прямоугольник $P'Q'R'S'$ в прямоугольник $PQRS$.
• Гомотетия является преобразованием подобия, поэтому она сохраняет форму фигур. Прямоугольник $P'Q'R'S'$ был построен подобным прямоугольнику $P_1Q_1R_1S_1$. Следовательно, его образ, прямоугольник $PQRS$, также подобен прямоугольнику $P_1Q_1R_1S_1$.

Таким образом, построенный прямоугольник $PQRS$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Искомый прямоугольник $PQRS$ строится с помощью метода гомотетии, как описано в алгоритме построения. Сначала строится вспомогательный прямоугольник $P'Q'R'S'$, подобный данному, с тремя вершинами на сторонах $AB$ и $AC$. Затем, с помощью гомотетии с центром в $B$, он преобразуется в искомый прямоугольник $PQRS$, все вершины которого лежат на сторонах треугольника $ABC$.