Номер 1338, страница 353 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

137. Применение подобия к решению задач. § 3. Применение подобия фигур к доказательству теорем и решению задач. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1338, страница 353.

1338 Даны прямая l и точка О, не лежащая на ней. Пусть X — любая точка прямой l. Используя гомотетию с центром в точке О, докажите, что множество точек, делящих отрезок OX в отношении 1 : 3, считая от точки О, есть прямая, параллельная прямой l.

Пусть $l$ — данная прямая, и $O$ — точка, не лежащая на этой прямой. Пусть $X$ — произвольная точка, принадлежащая прямой $l$. Обозначим через $M$ точку, которая делит отрезок $OX$ в отношении $1:3$, считая от точки $O$.

По определению деления отрезка в заданном отношении, точка $M$ лежит на отрезке $OX$, и выполняется соотношение длин $OM : MX = 1:3$.

Из этого соотношения следует, что длина отрезка $OM$ составляет одну часть, а длина отрезка $MX$ — три части от общей длины. Таким образом, весь отрезок $OX$ состоит из $1+3=4$ таких частей. Отношение длины отрезка $OM$ к длине всего отрезка $OX$ будет равно: $|OM| : |OX| = 1 : 4$, или $|OM| = \frac{1}{4} |OX|$.

Поскольку точка $M$ лежит на отрезке $OX$, векторы $\vec{OM}$ и $\vec{OX}$ сонаправлены (имеют одинаковое направление). Это позволяет записать векторное равенство: $\vec{OM} = \frac{1}{4} \vec{OX}$.

Данное векторное равенство является определением гомотетии (или гомотетичного преобразования) с центром в точке $O$ и коэффициентом $k = \frac{1}{4}$. Точка $M$ является образом точки $X$ при этой гомотетии.

Так как $X$ — это любая точка прямой $l$, то искомое множество точек $M$ представляет собой образ всей прямой $l$ при гомотетии с центром $O$ и коэффициентом $k = \frac{1}{4}$.

Согласно одному из основных свойств гомотетии, образом прямой при гомотетичном преобразовании является прямая, параллельная исходной прямой. Это свойство выполняется, так как центр гомотетии $O$ не лежит на прямой $l$ по условию задачи.

Таким образом, множество точек $M$ образует прямую, параллельную прямой $l$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Каждая точка $M$, делящая отрезок $OX$ в отношении $1:3$ (где $X \in l$), является образом точки $X$ при гомотетии с центром $O$ и коэффициентом $k = \frac{1}{4}$. Множество всех таких точек $M$ есть образ прямой $l$ при данной гомотетии. По свойству гомотетии, образом прямой является прямая, параллельная исходной. Следовательно, искомое множество точек есть прямая, параллельная прямой $l$.