Номер 1372, страница 359 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий
ISBN: 978-5-09-102538-5 (2023), 978-5-09-111167-5 (2024)
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 7 классе
Задачи к главе 10. Задачи повышенной трудности. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1372, страница 359.
№1372 (с. 359)
Условие. №1372 (с. 359)
скриншот условия

1372 Докажите следующее утверждение: три точки А, В и С лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда существуют числа k, l и m, одновременно не равные нулю, такие, что k + 1 + m = 0 и для произвольной точки О выполняется равенство kOA + lOB + mOC = 0.
Решение 2. №1372 (с. 359)

Решение 3. №1372 (с. 359)

Решение 4. №1372 (с. 359)

Решение 6. №1372 (с. 359)


Решение 11. №1372 (с. 359)
Для доказательства данного утверждения, которое является критерием коллинеарности трех точек, необходимо доказать две взаимно обратные теоремы: необходимость и достаточность.
Доказательство необходимости (?)
Пусть точки A, B и C лежат на одной прямой. Мы должны доказать, что существуют числа $k, l, m$, не все равные нулю, такие что $k+l+m=0$ и $k\vec{OA} + l\vec{OB} + m\vec{OC} = \vec{0}$ для произвольной точки O.
Рассмотрим несколько случаев.
1. Точки A, B, C различны. Поскольку они лежат на одной прямой, векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ коллинеарны. Следовательно, существует такое число $\lambda$, что $\vec{AC} = \lambda \vec{AB}$.
Выразим векторы через радиус-векторы из произвольной точки O:
$\vec{OC} - \vec{OA} = \lambda (\vec{OB} - \vec{OA})$
Перенесем все члены в одну часть уравнения:
$\vec{OC} - \vec{OA} - \lambda \vec{OB} + \lambda \vec{OA} = \vec{0}$
$(\lambda - 1)\vec{OA} - \lambda \vec{OB} + 1 \cdot \vec{OC} = \vec{0}$
Обозначим коэффициенты: $k = \lambda - 1$, $l = -\lambda$, $m = 1$.
Проверим условия для этих коэффициентов:
- Они не равны нулю одновременно, так как $m = 1 \neq 0$.
- Их сумма равна нулю: $k + l + m = (\lambda - 1) + (-\lambda) + 1 = \lambda - 1 - \lambda + 1 = 0$.
Таким образом, для различных коллинеарных точек A, B, C мы нашли искомые числа k, l, m.
2. Две из точек совпадают, например, A = B. Тогда точки A, B, C (т.е. A, A, C) лежат на одной прямой. Выберем числа $k=1, l=-1, m=0$. Они не все равны нулю, и их сумма $1 + (-1) + 0 = 0$. Проверим векторное равенство:
$k\vec{OA} + l\vec{OB} + m\vec{OC} = 1\cdot\vec{OA} - 1\cdot\vec{OB} + 0\cdot\vec{OC} = \vec{OA} - \vec{OB}$
Так как A=B, то $\vec{OA} = \vec{OB}$, и следовательно, $\vec{OA} - \vec{OB} = \vec{0}$. Равенство выполняется.
3. Все три точки совпадают, A = B = C. Выберем, например, $k=1, l=1, m=-2$. Они не все равны нулю, и их сумма $1+1+(-2)=0$. Проверим равенство:
$k\vec{OA} + l\vec{OB} + m\vec{OC} = 1\cdot\vec{OA} + 1\cdot\vec{OB} - 2\cdot\vec{OC} = \vec{OA} + \vec{OA} - 2\vec{OA} = \vec{0}$. Равенство выполняется.
Таким образом, необходимость доказана для всех случаев.
Доказательство достаточности (?)
Пусть существуют числа $k, l, m$, не все равные нулю, такие что $k+l+m=0$ и для произвольной точки O выполняется равенство $k\vec{OA} + l\vec{OB} + m\vec{OC} = \vec{0}$. Мы должны доказать, что точки A, B и C лежат на одной прямой.
Так как векторное равенство выполняется для любой точки O, мы можем выбрать в качестве начала отсчета одну из данных точек, например, точку A. Тогда $\vec{OA} = \vec{AA} = \vec{0}$.
Подставим это в исходное равенство:
$k\vec{0} + l\vec{AB} + m\vec{AC} = \vec{0}$
$l\vec{AB} + m\vec{AC} = \vec{0}$
По условию, числа $k, l, m$ не все равны нулю, и $k+l+m=0$.
Рассмотрим возможные значения $l$ и $m$.
1. Пусть $m \neq 0$. Тогда из равенства $l\vec{AB} + m\vec{AC} = \vec{0}$ можно выразить вектор $\vec{AC}$:
$m\vec{AC} = -l\vec{AB}$
$\vec{AC} = -\frac{l}{m}\vec{AB}$
Это равенство показывает, что векторы $\vec{AC}$ и $\vec{AB}$ коллинеарны. Поскольку эти векторы имеют общее начало в точке A, точки A, B и C лежат на одной прямой.
2. Пусть $m = 0$. Из условия $k+l+m=0$ следует, что $k+l=0$, то есть $l=-k$. Так как $k, l, m$ не все равны нулю, а $m=0$, то $k$ и $l$ не могут быть оба равны нулю. Следовательно, $l \neq 0$ (и $k \neq 0$).
Вернемся к равенству $l\vec{AB} + m\vec{AC} = \vec{0}$. При $m=0$ оно принимает вид:
$l\vec{AB} = \vec{0}$
Поскольку $l \neq 0$, это равенство возможно только если $\vec{AB} = \vec{0}$. А это означает, что точки A и B совпадают. Если две из трех точек совпадают, то все три точки лежат на одной прямой.
Во всех возможных случаях точки A, B и C лежат на одной прямой. Достаточность доказана.
Таким образом, утверждение полностью доказано.
Ответ: Утверждение доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 7-9 класс, для упражнения номер 1372 расположенного на странице 359 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №1372 (с. 359), авторов: Атанасян (Левон Сергеевич), Бутузов (Валентин Фёдорович), Кадомцев (Сергей Борисович), Позняк (Эдуард Генрихович), Юдина (Ирина Игоревна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.