Номер 1426, страница 364 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 15. Задачи повышенной трудности. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1426, страница 364.

1426 Даны отрезки a, m, n. Постройте ромб со стороной а, диагонали которого относятся как m : n.

Для решения задачи сперва проведём анализ, который ляжет в основу построения. Пусть искомый ромб — $ABCD$ со стороной $a$. Его диагонали $d_1$ и $d_2$ пересекаются в точке $O$ под прямым углом и делятся ею пополам. Таким образом, треугольник $AOB$ является прямоугольным. Его гипотенуза — это сторона ромба $AB = a$, а катеты — это половины диагоналей: $AO = d_1/2$ и $BO = d_2/2$. По теореме Пифагора, $(d_1/2)^2 + (d_2/2)^2 = a^2$.

По условию, отношение диагоналей $d_1 : d_2 = m : n$. Это же отношение сохраняется и для их половин: $(d_1/2) : (d_2/2) = m : n$. Это означает, что прямоугольный треугольник $AOB$ с катетами $d_1/2$, $d_2/2$ и гипотенузой $a$ подобен прямоугольному треугольнику с катетами $m$ и $n$.

Отсюда вытекает следующий алгоритм построения.

1. Построить вспомогательный прямоугольный треугольник. Для этого на двух взаимно перпендикулярных прямых, пересекающихся в точке $P$, откладываем отрезки $PM = m$ и $PN = n$. Соединяем точки $M$ и $N$. Получаем прямоугольный треугольник $MPN$ с катетами $m$, $n$ и гипотенузой $h = MN = \sqrt{m^2 + n^2}$.

2. Построить половины диагоналей искомого ромба — отрезки $x$ и $y$. Эти отрезки являются катетами прямоугольного треугольника, подобного треугольнику $MPN$, но с гипотенузой, равной $a$. Для их построения воспользуемся теоремой о пропорциональных отрезках. Начертим произвольный угол с вершиной $O'$. На одной его стороне отложим отрезок $O'H = h$, а на другой — отрезок $O'A = a$. Соединим точки $H$ и $A$. Теперь на луче $O'H$ отложим отрезки $O'M' = m$ и $O'N' = n$. Через точки $M'$ и $N'$ проведём прямые, параллельные отрезку $HA$. Эти прямые пересекут луч $O'A$ в точках $X$ и $Y$ соответственно. Отрезки $O'X = x$ и $O'Y = y$ и будут искомыми половинами диагоналей, так как из подобия треугольников следует, что $x/a = m/h$ и $y/a = n/h$.

3. Построить сам ромб. Проведём две взаимно перпендикулярные прямые, пересекающиеся в точке $O$. На одной прямой отложим от точки $O$ в обе стороны отрезки, равные $y$, получив диагональ $BD = 2y$. На другой прямой отложим от точки $O$ в обе стороны отрезки, равные $x$, получив диагональ $AC = 2x$. Соединив последовательно точки $A$, $B$, $C$ и $D$, получим искомый ромб.

Докажем корректность построения. Построенная фигура $ABCD$ является ромбом, так как её диагонали взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Сторона этого ромба, например $AB$, является гипотенузой в прямоугольном треугольнике $AOB$ с катетами $x$ и $y$. $AB^2 = x^2+y^2 = (\frac{am}{h})^2 + (\frac{an}{h})^2 = \frac{a^2(m^2+n^2)}{h^2}$. Поскольку $h^2=m^2+n^2$, получаем $AB^2=a^2$, то есть $AB=a$. Отношение диагоналей $AC:BD = 2x:2y = x:y = \frac{am}{h} : \frac{an}{h} = m:n$. Все условия задачи выполнены.

Ответ: Построение выполняется в три этапа: 1) построение вспомогательного прямоугольного треугольника с катетами $m$ и $n$ для нахождения его гипотенузы $h$; 2) построение половин диагоналей ромба $x$ и $y$ как четвёртых пропорциональных отрезков из соотношений $h:m=a:x$ и $h:n=a:y$; 3) построение ромба по его диагоналям $2x$ и $2y$.