Номер 1, страница 365 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

7 класс. Исследовательские задачи - номер 1, страница 365.

1 Сформулируйте новые признаки равенства треугольников, используя не только стороны и углы, но также медианы, биссектрисы и высоты треугольников. Примеры таких признаков дают задачи 166, 181, 420, [1, пп. 28, 29].

Эта задача может быть поставлена перед группой учащихся: создать банк признаков равенства треугольников; может использоваться как предмет интеллектуального соревнования между двумя или несколькими группами учащихся.

Помимо трёх классических признаков равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними, по стороне и двум прилежащим углам, по трём сторонам), существует множество других. Они используют в качестве данных не только стороны и углы, но и длины медиан, биссектрис и высот. Ниже приведены формулировки и доказательства нескольких таких признаков.

• Признак равенства по двум сторонам и медиане, проведённой к третьей стороне

  Формулировка: Если две стороны и медиана, проведённая к третьей стороне, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и медиане, проведённой к третьей стороне, другого треугольника, то такие треугольники равны.

  Доказательство:

  Рассмотрим два треугольника, $\triangle ABC$ и $\triangle A'B'C'$. Пусть у них соответственно равны стороны $AC = A'C' = b$, $BC = B'C' = a$ и медианы, проведённые к стороне $AB$, $CM = C'M' = m_c$.

  1. Достроим $\triangle ABC$ до параллелограмма $ACBD$. Для этого продлим медиану $CM$ за точку $M$ на её длину до точки $D$ так, что $CM = MD$. Тогда диагональ $CD = 2m_c$. Четырёхугольник $ACBD$ является параллелограммом, так как его диагонали $AB$ и $CD$ в точке пересечения $M$ делятся пополам.

  2. В параллелограмме $ACBD$ противоположные стороны равны, поэтому $BD = AC = b$.

  3. Рассмотрим треугольник $\triangle BCD$. Его стороны равны $BC = a$, $BD = b$ и $CD = 2m_c$.

  4. Аналогичное построение в $\triangle A'B'C'$ даёт нам параллелограмм $A'C'B'D'$ и треугольник $\triangle B'C'D'$ со сторонами $B'C' = a'$, $B'D' = b'$ и $C'D' = 2m'_c$.

  5. Из условия $a=a'$, $b=b'$, $m_c=m'_c$ следует, что стороны треугольника $\triangle BCD$ соответственно равны сторонам треугольника $\triangle B'C'D'$. Значит, по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам), $\triangle BCD \cong \triangle B'C'D'$.

  6. Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих углов, в частности $\angle CBD = \angle C'B'D'$. В параллелограмме $ACBD$ стороны $AC$ и $BD$ параллельны, а прямая $BC$ является секущей. Сумма внутренних односторонних углов равна $180^{\circ}$, то есть $\angle ACB + \angle CBD = 180^{\circ}$. Отсюда, $\angle ACB = 180^{\circ} - \angle CBD$. Аналогично для второго треугольника: $\angle A'C'B' = 180^{\circ} - \angle C'B'D'$. Так как $\angle CBD = \angle C'B'D'$, то и $\angle ACB = \angle A'C'B'$.

  7. Теперь сравним исходные треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A'B'C'$. В них $AC = A'C'$, $BC = B'C'$ (по условию) и угол между этими сторонами $\angle ACB = \angle A'C'B'$ (по доказанному). Следовательно, $\triangle ABC \cong \triangle A'B'C'$ по первому признаку равенства (по двум сторонам и углу между ними).

  Ответ: Треугольники, у которых две стороны и медиана к третьей стороне соответственно равны, являются равными.

• Признак равенства по трём медианам

  Формулировка: Если три медианы одного треугольника соответственно равны трём медианам другого треугольника, то такие треугольники равны.

  Доказательство:

  Стороны треугольника можно выразить через его медианы. Длина медианы $m_a$, проведённой к стороне $a$, связана со сторонами треугольника формулой, следующей из теоремы Аполлония: $m_a^2 = \frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}$.

  1. Запишем формулы для квадратов длин всех трёх медиан:

  $4m_a^2 = 2b^2+2c^2-a^2$

  $4m_b^2 = 2a^2+2c^2-b^2$

  $4m_c^2 = 2a^2+2b^2-c^2$

  2. Рассматривая эти равенства как систему линейных уравнений относительно $a^2, b^2, c^2$, можно найти выражения для квадратов сторон через квадраты медиан. Решение этой системы даёт:

  $a^2 = \frac{4}{9}(2m_b^2 + 2m_c^2 - m_a^2)$

  $b^2 = \frac{4}{9}(2m_a^2 + 2m_c^2 - m_b^2)$

  $c^2 = \frac{4}{9}(2m_a^2 + 2m_b^2 - m_c^2)$

  3. Пусть даны два треугольника, $\triangle ABC$ и $\triangle A'B'C'$, с соответственно равными медианами: $m_a = m'_a$, $m_b = m'_b$, $m_c = m'_c$.

  4. Используя приведённые выше формулы, мы можем вычислить квадраты сторон для каждого треугольника. Поскольку медианы равны, то и квадраты сторон будут соответственно равны: $a^2 = (a')^2, b^2 = (b')^2, c^2 = (c')^2$.

  5. Так как длины сторон являются положительными величинами, из равенства квадратов следует и равенство самих сторон: $a=a', b=b', c=c'$.

  6. Таким образом, треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A'B'C'$ равны по третьему признаку (по трём сторонам).

  Ответ: Если три медианы одного треугольника равны трем медианам другого, то такие треугольники равны.

• Признак равенства по стороне, медиане и высоте, проведённым к этой стороне

  Формулировка: Если сторона, проведённая к ней медиана и проведённая к ней высота одного треугольника соответственно равны стороне, проведённой к ней медиане и проведённой к ней высоте другого треугольника, то такие треугольники равны.

  Доказательство:

  Рассмотрим $\triangle ABC$, в котором проведены высота $AH_a$ и медиана $AM_a$ к стороне $BC$. Пусть нам даны их длины $h_a = AH_a$, $m_a = AM_a$, а также длина стороны $a = BC$. Аналогичные элементы $h'_a, m'_a, a'$ даны для $\triangle A'B'C'$, и $h_a=h'_a, m_a=m'_a, a=a'$.

  1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AH_aM_a$ (угол при вершине $H_a$ прямой). Его гипотенуза — это медиана $AM_a = m_a$, а один из катетов — высота $AH_a = h_a$.

  2. По теореме Пифагора, второй катет $H_aM_a = \sqrt{m_a^2 - h_a^2}$. Поскольку $m_a$ и $h_a$ заданы, длина отрезка $H_aM_a$ определяется однозначно.

  3. Теперь мы можем полностью восстановить положение вершин. Точки $B, C, M_a, H_a$ лежат на одной прямой. Точка $M_a$ является серединой отрезка $BC$, длина которого равна $a$. Значит, $BM_a = M_aC = a/2$.

  4. Положение вершины $A$ однозначно определяется относительно точек $H_a$ и $M_a$, так как $\triangle AH_aM_a$ определён однозначно.

  5. Таким образом, взаимное расположение всех трёх вершин $A, B, C$ определено однозначно. Это означает, что треугольник $\triangle ABC$ по заданным элементам $a, m_a, h_a$ строится единственным образом (с точностью до конгруэнтности).

  6. Поскольку для $\triangle A'B'C'$ даны те же значения элементов, он будет равен $\triangle ABC$.

  Ответ: Треугольник однозначно определяется стороной, медианой и высотой, проведенными к этой стороне, следовательно, это является признаком равенства.

• Признак равенства по углу, высоте и биссектрисе, проведённым из вершины этого угла

  Формулировка: Если угол, высота и биссектриса, проведённые из вершины этого угла, одного треугольника соответственно равны углу, высоте и биссектрисе, проведённым из соответствующей вершины другого треугольника, то такие треугольники равны.

  Доказательство:

  Пусть в $\triangle ABC$ из вершины $A$ проведены высота $AH_a = h_a$ и биссектриса $AL_a = l_a$. Также задан угол $\angle BAC = \alpha$. Аналогичные элементы $\alpha', h'_a, l'_a$ даны для $\triangle A'B'C'$, и $\alpha=\alpha', h_a=h'_a, l_a=l'_a$.

  1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AH_aL_a$, где угол при $H_a$ прямой. Его гипотенуза $AL_a = l_a$, а катет $AH_a = h_a$. Этот треугольник строится однозначно.

  2. В $\triangle AH_aL_a$ мы можем найти угол $\angle H_aAL_a$. Обозначим его $\omega$. Из определения косинуса $\cos(\omega) = \frac{AH_a}{AL_a} = \frac{h_a}{l_a}$. Угол $\omega$ определяется однозначно.

  3. Прямая $AL_a$ является биссектрисой угла $\angle BAC$, поэтому $\angle BAL_a = \angle CAL_a = \alpha/2$.

  4. Теперь мы можем найти углы, которые высота $AH_a$ образует со сторонами $AB$ и $AC$. Возможны два случая расположения $L_a$ относительно $H_a$, но они приводят к одному и тому же набору углов треугольника (с точностью до перестановки). Пусть $L_a$ лежит между $H_a$ и $C$. Тогда:

  $\angle HAB = \angle BAL_a - \angle H_aAL_a = \alpha/2 - \omega$

  $\angle HAC = \angle CAL_a + \angle H_aAL_a = \alpha/2 + \omega$

  5. Зная эти углы, находим два других угла треугольника $ABC$ из прямоугольных треугольников $\triangle AH_aB$ и $\triangle AH_aC$:

  $\angle B = 90^\circ - \angle HAB = 90^\circ - (\alpha/2 - \omega)$

  $\angle C = 90^\circ - \angle HAC = 90^\circ - (\alpha/2 + \omega)$

  6. Таким образом, все три угла треугольника ($\alpha$, $\angle B$, $\angle C$) однозначно определены. Чтобы задать размер треугольника, найдём одну из его сторон, например, $b=AC$ из $\triangle AH_aC$:

  $b = AC = \frac{AH_a}{\cos(\angle HAC)} = \frac{h_a}{\cos(\alpha/2 + \omega)}$

  7. Поскольку все три угла и одна сторона треугольника однозначно определены, сам треугольник определён однозначно (по второму признаку равенства, ASA). Следовательно, $\triangle ABC \cong \triangle A'B'C'$.

  Ответ: Если угол, высота и биссектриса из этой же вершины одного треугольника равны соответствующим элементам другого, то треугольники равны.