Номер 4, страница 365 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

7 класс. Исследовательские задачи - номер 4, страница 365.

4 Для каждого из новых признаков равенства треугольников рассмотрите задачу на построение: построить с помощью циркуля и линейки треугольник по тем элементам, которые фигурируют в признаке.

В геометрии, помимо трех основных признаков равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними, по стороне и двум прилежащим углам, по трем сторонам), рассматриваются и другие, которые также позволяют однозначно определить треугольник. Ниже приведены решения задач на построение треугольника с помощью циркуля и линейки для двух таких случаев.

Построение треугольника по стороне и двум углам (одному прилежащему и одному противолежащему)

Этот признак равенства треугольников также известен как признак "по стороне и двум углам" (в англоязычной литературе AAS или SAA). Он формулируется так: если сторона, прилежащий к ней угол и противолежащий угол одного треугольника соответственно равны стороне, прилежащему к ней углу и противолежащему углу другого треугольника, то такие треугольники равны.

Рассмотрим задачу построения треугольника по этим элементам.

Дано: отрезок $a$ и два угла $\alpha$ и $\beta$.

Требуется построить: треугольник $ABC$, в котором сторона $BC = a$, прилежащий к ней угол $\angle B = \beta$, а противолежащий стороне $BC$ угол $\angle A = \alpha$.

Анализ:

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Зная два угла $\angle A = \alpha$ и $\angle B = \beta$, мы можем найти третий угол: $\angle C = \gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta)$. После нахождения угла $\gamma$, задача сводится к стандартной задаче построения треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам (признак ASA): по стороне $BC=a$ и прилежащим углам $\angle B = \beta$ и $\angle C = \gamma$.

Построение:

1. Сначала построим угол $\gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta)$. Для этого на произвольной прямой отложим от некоторой точки $O$ последовательно углы $\alpha$ и $\beta$ в одну полуплоскость. Угол, смежный с их суммой, будет искомым углом $\gamma$.

2. Проведем произвольную прямую и выберем на ней точку $B$. С помощью циркуля отложим от точки $B$ отрезок $BC$, равный данному отрезку $a$.

3. От луча $CB$ в выбранной полуплоскости построим угол, равный $\beta$. Получим луч $BM$.

4. От луча $BC$ в той же полуплоскости построим угол, равный построенному углу $\gamma$. Получим луч $CN$.

5. Точка пересечения лучей $BM$ и $CN$ будет третьей вершиной треугольника — точкой $A$.

6. Треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство:

По построению сторона $BC$ равна данному отрезку $a$, а угол $\angle B$ равен данному углу $\beta$. Угол $\angle C$ равен построенному углу $\gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta)$. Так как сумма углов треугольника равна $180^\circ$, то угол $\angle A = 180^\circ - (\angle B + \angle C) = 180^\circ - (\beta + (180^\circ - \alpha - \beta)) = \alpha$. Таким образом, построенный треугольник $ABC$ имеет элементы, равные данным.

Исследование:

Задача имеет решение тогда и только тогда, когда сумма данных углов меньше $180^\circ$, то есть $\alpha + \beta < 180^\circ$. Если $\alpha + \beta \ge 180^\circ$, то третий угол не будет положительным, и треугольник построить невозможно. При выполнении этого условия решение единственно.

Ответ: задача решается построением третьего угла треугольника по двум данным и последующим сведением к основной задаче построения по стороне и двум прилежащим углам (ASA).

Построение треугольника по стороне, высоте и медиане, проведенным к этой стороне

Это пример более сложной задачи на построение, которая напрямую не следует из одного из признаков равенства, но использует геометрические свойства элементов треугольника.

Дано: три отрезка $a$, $h_a$, $m_a$.

Требуется построить: треугольник $ABC$, в котором сторона $BC=a$, высота $AH$, проведенная к этой стороне, равна $h_a$, и медиана $AM$, проведенная к этой же стороне, равна $m_a$.

Анализ:

Пусть искомый треугольник $ABC$ построен. $AH$ — его высота, а $AM$ — медиана. Это означает, что точка $H$ — основание перпендикуляра из $A$ на прямую $BC$, а точка $M$ — середина отрезка $BC$. Рассмотрим треугольник $AHM$. В нем $\angle AHM = 90^\circ$, катет $AH = h_a$ и гипотенуза $AM = m_a$. Мы можем построить этот прямоугольный треугольник. После его построения у нас будут определены вершина $A$ и точки $H$ и $M$ на прямой, содержащей сторону $BC$. Так как $M$ — середина $BC$, то $BM = MC = a/2$. Отложив от точки $M$ в противоположные стороны отрезки длиной $a/2$, мы найдем вершины $B$ и $C$.

Построение:

1. Проведем произвольную прямую $l$. Выберем на ней произвольную точку $H$.

2. Через точку $H$ проведем прямую $p$, перпендикулярную прямой $l$.

3. На прямой $p$ от точки $H$ отложим отрезок $HA$, равный данной высоте $h_a$.

4. С центром в точке $A$ проведем окружность (или дугу) радиусом, равным данной медиане $m_a$.

5. Эта окружность пересечет прямую $l$ в точке $M$. (Если $m_a > h_a$, будет две точки пересечения, симметричные относительно $H$; выберем любую из них, так как это приведет к равным треугольникам).

6. Построим отрезок, равный $a/2$ (например, разделив отрезок $a$ пополам с помощью серединного перпендикуляра).

7. На прямой $l$ от точки $M$ отложим в одну сторону отрезок $MB=a/2$ и в другую сторону отрезок $MC=a/2$.

8. Соединим точку $A$ с точками $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ — искомый.

Доказательство:

В построенном треугольнике $ABC$ отрезок $AH$ является высотой по построению ($AH \perp BC$) и его длина равна $h_a$. Точка $M$ является серединой стороны $BC$ ($BM=MC=a/2$), следовательно, $AM$ — медиана, и ее длина по построению равна $m_a$. Длина стороны $BC = BM+MC = a/2 + a/2 = a$. Все условия задачи выполнены.

Исследование:

Задача имеет решение, если возможно построить вспомогательный прямоугольный треугольник $AHM$. В прямоугольном треугольнике гипотенуза не может быть короче катета. Следовательно, необходимым и достаточным условием для существования решения является $m_a \ge h_a$.

– Если $m_a > h_a$, задача имеет единственное (с точностью до симметрии) решение.

– Если $m_a = h_a$, то точки $M$ и $H$ совпадают. Это означает, что высота является и медианой, следовательно, искомый треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $BC$. Решение также единственно.

– Если $m_a < h_a$, окружность из шага 5 не пересечет прямую $l$, и построение невозможно. Задача не имеет решений.

Ответ: задача решается методом построения вспомогательного прямоугольного треугольника по известным катету (высоте $h_a$) и гипотенузе (медиане $m_a$).