Номер 2, страница 366 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

9 класс. Исследовательские задачи - номер 2, страница 366.

2 Окружности Аполлония и их свойства (задачи 1070, 1388), [2, пп. 53, 54].

Окружности Аполлония являются классическим примером геометрического места точек и обладают рядом важных свойств. Рассмотрим их определение и ключевые характеристики.

Окружности Аполлония

По определению, окружность Аполлония для двух заданных точек $A$ и $B$ и положительного действительного числа $k$ — это геометрическое место точек $P$, для которых отношение расстояний от $P$ до $A$ и $B$ постоянно и равно $k$. Математически это выражается как: $$ \frac{PA}{PB} = k $$

Рассмотрим два случая:

1. Если $k=1$, то $PA = PB$. Геометрическим местом таких точек является срединный перпендикуляр к отрезку $AB$. Срединный перпендикуляр можно рассматривать как вырожденный случай окружности с бесконечным радиусом.

2. Если $k \ne 1$ и $k > 0$, то геометрическое место точек является окружностью. Докажем это с помощью метода координат.

Пусть точки $A$ и $B$ лежат на оси $Ox$. Для удобства выберем начало координат в середине отрезка $AB$. Пусть $A$ имеет координаты $(-c, 0)$, а $B$ — $(c, 0)$, где $c > 0$. Пусть точка $P$ имеет координаты $(x, y)$. Тогда условие $PA = k \cdot PB$ в координатах записывается как: $$ \sqrt{(x+c)^2 + y^2} = k \sqrt{(x-c)^2 + y^2} $$ Возведем обе части уравнения в квадрат: $$ (x+c)^2 + y^2 = k^2 ((x-c)^2 + y^2) $$ Раскроем скобки: $$ x^2 + 2xc + c^2 + y^2 = k^2(x^2 - 2xc + c^2 + y^2) $$ $$ x^2 + 2xc + c^2 + y^2 = k^2x^2 - 2k^2xc + k^2c^2 + k^2y^2 $$ Сгруппируем члены с $x^2$, $y^2$ и $x$: $$ (1-k^2)x^2 + (1-k^2)y^2 + (2c + 2k^2c)x + (c^2 - k^2c^2) = 0 $$ Так как $k \ne 1$, то $1-k^2 \ne 0$. Разделим все уравнение на $(1-k^2)$: $$ x^2 + y^2 + \frac{2c(1+k^2)}{1-k^2}x + c^2 = 0 $$ Чтобы привести это уравнение к каноническому виду $(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = R^2$, выделим полный квадрат для переменной $x$: $$ \left(x + c\frac{1+k^2}{1-k^2}\right)^2 - \left(c\frac{1+k^2}{1-k^2}\right)^2 + y^2 + c^2 = 0 $$ $$ \left(x - c\frac{k^2+1}{k^2-1}\right)^2 + y^2 = c^2\left(\frac{k^2+1}{k^2-1}\right)^2 - c^2 $$ $$ \left(x - c\frac{k^2+1}{k^2-1}\right)^2 + y^2 = c^2\left(\frac{(k^2+1)^2 - (k^2-1)^2}{(k^2-1)^2}\right) $$ $$ \left(x - c\frac{k^2+1}{k^2-1}\right)^2 + y^2 = c^2\left(\frac{4k^2}{(k^2-1)^2}\right) $$ Это уравнение окружности с центром в точке $O = \left(c\frac{k^2+1}{k^2-1}, 0\right)$ и радиусом $R = \left|\frac{2kc}{k^2-1}\right|$.

Ответ: Окружность Аполлония для двух точек A и B и числа $k>0, k \neq 1$ — это геометрическое место точек P, для которых отношение расстояний $PA/PB=k$ постоянно. Это действительно является окружностью, центр которой лежит на прямой AB, а радиус зависит от расстояния между A и B и от коэффициента k.

Их свойства

Окружности Аполлония обладают несколькими важными геометрическими свойствами.

1. Диаметр и гармоническое деление. Центр окружности Аполлония всегда лежит на прямой, проходящей через точки $A$ и $B$. Эта окружность пересекает прямую $AB$ в двух точках, скажем $C$ и $D$.

• Точка $C$ делит отрезок $AB$ внутренним образом в отношении $k:1$, то есть $AC/CB = k$.
• Точка $D$ делит отрезок $AB$ внешним образом в отношении $k:1$, то есть $AD/DB = k$.

Отрезок $CD$ является диаметром окружности Аполлония. Точки $C$ и $D$ называются гармонически сопряженными к точкам $A$ и $B$.

2. Свойство биссектрис. Для любой точки $P$ на окружности Аполлония выполняются следующие свойства, связанные с биссектрисами угла $\angle APB$:

• Отрезок $PC$ (где $C$ — точка на отрезке $AB$) является внутренней биссектрисой угла $\angle APB$. Это следует из теоремы о биссектрисе, так как $PA/PB = k$ и $AC/CB = k$.
• Луч $PD$ (где $D$ — точка на прямой $AB$ вне отрезка $AB$) является внешней биссектрисой угла $\angle APB$.

Поскольку внутренняя и внешняя биссектрисы угла перпендикулярны, угол $\angle CPD$ всегда прямой ($\angle CPD = 90^\circ$). Этот факт является альтернативным доказательством того, что ГМТ $P$ есть окружность, построенная на отрезке $CD$ как на диаметре.

3. Пучки окружностей. Если зафиксировать точки $A$ и $B$ и изменять значение $k$ ($k \in (0, \infty)$), мы получим семейство окружностей Аполлония.

• Это семейство образует непересекающийся (эллиптический) пучок коаксиальных окружностей.
• Точки $A$ и $B$ являются предельными точками (или точками Понселе) этого пучка. При $k \to 0$ окружность стягивается в точку $A$, а при $k \to \infty$ — в точку $B$.
• Все окружности этого пучка имеют общую радикальную ось — срединный перпендикуляр к отрезку $AB$ (это окружность Аполлония для $k=1$).
• Этот пучок окружностей ортогонален другому пучку — пучку всех окружностей, проходящих через точки $A$ и $B$ (пересекающийся или гиперболический пучок). То есть любая окружность Аполлония для точек $A, B$ пересекает любую окружность, проходящую через $A, B$, под прямым углом.

Следует отличать окружность Аполлония (задача на ГМТ) от задачи Аполлония (задача на построение окружности, касающейся трех заданных фигур).

Ответ: Основные свойства окружности Аполлония: её диаметр лежит на прямой, соединяющей базовые точки A и B, и определяется точками, гармонически делящими отрезок AB; она связана с биссектрисами углов, образованных точкой на окружности и базовыми точками; все окружности Аполлония для фиксированной пары точек (A, B) образуют коаксиальный пучок, ортогональный пучку окружностей, проходящих через A и B.