Номер 4, страница 366 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

9 класс. Исследовательские задачи - номер 4, страница 366.

4 Использование движений в задачах на построение (задачи 1293—1295, 1417—1423), [1, п. 163; 3, п. 44].

В изображении представлен заголовок темы из учебника по геометрии: «Использование движений в задачах на построение». Это не задача с конкретным условием, а название метода решения определенного класса задач. Ниже приведено развернутое объяснение этого метода с примером.

Метод геометрических преобразований в задачах на построение

Общая идея метода

Метод геометрических преобразований (или метод движений) является одним из наиболее эффективных подходов к решению задач на построение. Суть метода заключается в том, чтобы с помощью одного или нескольких преобразований (таких как параллельный перенос, симметрия относительно точки или прямой, поворот) преобразовать некоторые элементы исходной фигуры. Это позволяет свести исходную, часто сложную, задачу к более простой, ключевой задаче, решение которой известно или легко находится.

Алгоритм решения задачи на построение с использованием движений обычно состоит из четырех стандартных этапов:

1. Анализ: На этом этапе предполагается, что искомая фигура уже построена. Затем, применяя к ней или ее частям некоторое геометрическое преобразование, устанавливают связи между данными задачи и искомыми элементами. Цель — найти такую последовательность действий, которая приведет к построению. Именно на этом этапе и проявляется вся сила метода: преобразование помогает «увидеть» решение.
2. Построение: На основе проведенного анализа выполняется последовательность построений с помощью циркуля и линейки.
3. Доказательство: На этом этапе доказывается, что построенная фигура действительно удовлетворяет всем условиям задачи.
4. Исследование: Здесь определяется, при каких условиях задача имеет решение, и сколько решений она может иметь.

Пример задачи: Построение отрезка с помощью параллельного переноса

Условие: Даны две прямые $l_1$ и $l_2$ и отрезок $PQ$. Построить отрезок $AB$, равный и параллельный отрезку $PQ$, так, чтобы его концы, точки $A$ и $B$, лежали на прямых $l_1$ и $l_2$ соответственно.

Анализ

Предположим, что искомый отрезок $AB$ уже построен. По условию, точка $A$ лежит на прямой $l_1$, точка $B$ — на прямой $l_2$, и отрезок $AB$ равен и параллелен отрезку $PQ$. Это означает, что вектор $\vec{AB}$ равен вектору $\vec{PQ}$.

Равенство векторов $\vec{AB} = \vec{PQ}$ означает, что точка $B$ является образом точки $A$ при параллельном переносе на вектор $\vec{v} = \vec{PQ}$. Обозначим этот перенос как $T_{\vec{v}}$.

Итак, $B = T_{\vec{v}}(A)$. Мы знаем, что точка $A$ принадлежит прямой $l_1$. При параллельном переносе $T_{\vec{v}}$ вся прямая $l_1$ перейдет в некоторую прямую $l'_1$, параллельную $l_1$. Так как $A \in l_1$, то ее образ $B = T_{\vec{v}}(A)$ будет принадлежать образу прямой $l_1$, то есть $B \in l'_1$.

С другой стороны, по условию задачи, точка $B$ должна лежать на прямой $l_2$.

Следовательно, точка $B$ является точкой пересечения прямой $l_2$ и построенной прямой $l'_1$. Найдя точку $B$, мы можем однозначно найти точку $A$, выполнив обратный перенос точки $B$ на вектор $-\vec{v} = \vec{QP}$, то есть $A = T_{-\vec{v}}(B)$.

Таким образом, план построения определен.

Построение

1. Строим прямую $l'_1$ — образ прямой $l_1$ при параллельном переносе на вектор $\vec{PQ}$. Для этого:
   1. Выбираем на прямой $l_1$ произвольную точку $M$.
   2. Строим точку $M'$ — образ точки $M$ при переносе на вектор $\vec{PQ}$ (т.е. откладываем от точки $M$ вектор, равный $\vec{PQ}$).
   3. Через точку $M'$ проводим прямую $l'_1$, параллельную прямой $l_1$.
2. Находим точку пересечения $B$ прямых $l'_1$ и $l_2$.
3. Строим точку $A$ — прообраз точки $B$ при переносе на вектор $\vec{PQ}$. Для этого от точки $B$ откладываем вектор $\vec{BA}$, равный вектору $\vec{QP}$ (т.е. $\vec{BA} = -\vec{PQ}$).
4. Соединяем точки $A$ и $B$. Отрезок $AB$ — искомый.

Доказательство

По построению, точка $B$ лежит на прямой $l_2$. Точка $A$ получена переносом точки $B$ (лежащей на $l'_1$) на вектор $-\vec{PQ}$. Так как $l'_1$ является образом $l_1$ при переносе на вектор $\vec{PQ}$, то прообраз любой точки с $l'_1$ при этом переносе будет лежать на $l_1$. Следовательно, точка $A$ лежит на прямой $l_1$.

Также по построению $\vec{BA} = \vec{QP}$, что эквивалентно $\vec{AB} = \vec{PQ}$. Это означает, что отрезок $AB$ параллелен отрезку $PQ$ и равен ему по длине.

Таким образом, построенный отрезок $AB$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Решение задачи зависит от взаимного расположения прямых $l_1$, $l_2$ и $l'_1$. Прямая $l'_1$ всегда параллельна прямой $l_1$.

• Случай 1: Прямые $l_1$ и $l_2$ пересекаются. Тогда прямая $l'_1$ (параллельная $l_1$) также будет пересекать $l_2$. В этом случае прямые $l'_1$ и $l_2$ имеют одну общую точку $B$. Задача имеет единственное решение.
• Случай 2: Прямые $l_1$ и $l_2$ параллельны.
  • Если прямая $l'_1$ совпадает с прямой $l_2$, то любая точка прямой $l_2$ может быть выбрана в качестве точки $B$. В этом случае задача имеет бесконечное множество решений. Это произойдет, если вектор переноса $\vec{PQ}$ коллинеарен прямым $l_1$ и $l_2$, а его длина равна расстоянию между этими прямыми.
  • Если прямая $l'_1$ параллельна прямой $l_2$, но не совпадает с ней (что будет во всех остальных подслучаях, когда $l_1 \parallel l_2$), то прямые $l'_1$ и $l_2$ не имеют общих точек. В этом случае задача не имеет решений.

Ответ: Задача имеет одно решение, если прямые $l_1$ и $l_2$ пересекаются; бесконечно много решений, если прямые $l_1$ и $l_2$ параллельны и перенос на вектор $\vec{PQ}$ совмещает прямую $l_1$ с прямой $l_2$; и не имеет решений, если прямые $l_1$ и $l_2$ параллельны, но перенос на вектор $\vec{PQ}$ не совмещает их.