Номер 4, страница 366 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

8 класс. Исследовательские задачи - номер 4, страница 366.

4 Прямая Симcона (задача 919). Исследуйте все возможные случаи [2, п. 58].

Прямая Симсона (или прямая Уоллеса-Симсона) — это геометрическое место точек, являющихся основаниями перпендикуляров, опущенных из некоторой точки $P$ на стороны треугольника $ABC$ (или их продолжения). Ключевая теорема, связанная с этим понятием, устанавливает условие, при котором эти три точки лежат на одной прямой.

Теорема формулируется как необходимое и достаточное условие: основания перпендикуляров, опущенных из точки $P$ на стороны треугольника, коллинеарны тогда и только тогда, когда точка $P$ лежит на описанной окружности этого треугольника.

Рассмотрим доказательство прямой и обратной теорем, а также исследуем частные случаи.

Прямая теорема Симсона

Формулировка: Если точка $P$ лежит на описанной окружности треугольника $ABC$, то основания перпендикуляров, опущенных из точки $P$ на прямые, содержащие стороны этого треугольника, лежат на одной прямой.

Доказательство: Пусть точка $P$ лежит на описанной окружности $\triangle ABC$. Пусть $X, Y, Z$ — основания перпендикуляров, опущенных из $P$ на прямые $BC, AC, AB$ соответственно. Докажем, что точки $X, Y, Z$ коллинеарны. Для этого покажем, что $\angle CYX + \angle AYZ = 180^\circ$.

1. Рассмотрим точки $P, Y, C, X$. Так как $PY \perp AC$ и $PX \perp BC$, то $\angle PYC = \angle PXC = 90^\circ$. Это означает, что точки $P, Y, C, X$ лежат на одной окружности, диаметром которой является отрезок $PC$. Для вписанного четырехугольника $PXYC$ сумма противоположных углов равна $180^\circ$, следовательно, $\angle CYX = 180^\circ - \angle CPX$.

2. Аналогично, рассмотрим точки $P, Y, A, Z$. Так как $PY \perp AC$ и $PZ \perp AB$, то $\angle PYA = \angle PZA = 90^\circ$. Точки $P, Y, A, Z$ лежат на окружности с диаметром $PA$. Для вписанного четырехугольника $PYAZ$ углы, опирающиеся на одну дугу $PZ$, равны: $\angle AYZ = \angle APZ$.

3. Чтобы доказать, что $\angle CYX + \angle AYZ = 180^\circ$, нужно показать, что $180^\circ - \angle CPX + \angle APZ = 180^\circ$, что эквивалентно равенству $\angle CPX = \angle APZ$.

4. В прямоугольном треугольнике $\triangle PCX$ (с прямым углом при $X$) имеем $\angle CPX = 90^\circ - \angle PCX$. Угол $\angle PCX$ — это угол между прямыми $PC$ и $BC$.

5. В прямоугольном треугольнике $\triangle PAZ$ (с прямым углом при $Z$) имеем $\angle APZ = 90^\circ - \angle PAZ$. Угол $\angle PAZ$ — это угол между прямыми $PA$ и $AB$.

6. Таким образом, равенство $\angle CPX = \angle APZ$ равносильно равенству $\angle PCX = \angle PAZ$.

7. Так как точка $P$ лежит на описанной окружности $\triangle ABC$, то четырехугольник $ABCP$ — вписанный. Углы $\angle PAB$ (то же, что $\angle PAZ$) и $\angle PCB$ (то же, что $\angle PCX$) опираются на одну и ту же дугу $PB$. Следовательно, $\angle PAB = \angle PCB$.

Из этого следует, что $\angle PAZ = \angle PCX$, а значит и $\angle APZ = \angle CPX$. Это доказывает, что точки $X, Y, Z$ лежат на одной прямой. Эта прямая и называется прямой Симсона.

Ответ: Если точка P лежит на описанной окружности треугольника, то основания перпендикуляров, опущенных из нее на стороны треугольника, коллинеарны.

Обратная теорема Симсона

Формулировка: Если основания перпендикуляров, опущенных из точки $P$ на прямые, содержащие стороны треугольника $ABC$, лежат на одной прямой, то точка $P$ лежит на описанной окружности этого треугольника.

Доказательство: Доказательство проводится в обратном порядке.

1. Пусть $X, Y, Z$ — основания перпендикуляров из $P$ на $BC, AC, AB$ соответственно, и эти точки коллинеарны. Это означает, что $\angle CYX + \angle AYZ = 180^\circ$.

2. Как и в прямой теореме, точки $P, X, C, Y$ лежат на окружности с диаметром $PC$, а точки $P, Z, A, Y$ — на окружности с диаметром $PA$.

3. Из этих циклических четырехугольников следует, что $\angle CYX = 180^\circ - \angle CPX$ и $\angle AYZ = \angle APZ$.

4. Подставляя в равенство из пункта 1, получаем $180^\circ - \angle CPX + \angle APZ = 180^\circ$, откуда $\angle CPX = \angle APZ$.

5. Из прямоугольных треугольников $\triangle PCX$ и $\triangle PAZ$ имеем $\angle CPX = 90^\circ - \angle PCX$ и $\angle APZ = 90^\circ - \angle PAZ$.

6. Из равенства $\angle CPX = \angle APZ$ следует равенство $\angle PCX = \angle PAZ$.

7. Равенство углов $\angle PCB = \angle PAB$ является необходимым и достаточным условием того, что точки $A, B, C, P$ лежат на одной окружности. Следовательно, точка $P$ лежит на описанной окружности $\triangle ABC$.

Ответ: Если основания перпендикуляров, опущенных из точки P на стороны треугольника, коллинеарны, то точка P лежит на описанной окружности этого треугольника.

Исследование частных случаев

Рассмотрим поведение прямой Симсона в некоторых особых случаях расположения точки $P$ на описанной окружности.

Случай 1: Точка P совпадает с одной из вершин треугольника.

Пусть точка $P$ совпадает с вершиной $A$. Найдем положения оснований перпендикуляров $X, Y, Z$.

• $Z$ — основание перпендикуляра из $A$ на прямую $AB$. Точка $A$ сама лежит на прямой $AB$, поэтому ее проекция на эту прямую — это сама точка $A$. Таким образом, $Z=A$.
• $Y$ — основание перпендикуляра из $A$ на прямую $AC$. Аналогично, $Y=A$.
• $X$ — основание перпендикуляра из $A$ на прямую $BC$. Это точка $H_a$ — основание высоты, проведенной из вершины $A$ к стороне $BC$.

Таким образом, три "коллинеарные" точки — это $A, A, H_a$. Все они лежат на прямой $AH_a$, которая является высотой треугольника, проведенной из вершины $A$.

Ответ: Если точка $P$ совпадает с одной из вершин треугольника, ее прямая Симсона является высотой треугольника, проведенной из этой вершины.

Случай 2: Точка P диаметрально противоположна одной из вершин.

Пусть точка $P$ на описанной окружности такова, что отрезок $AP$ является ее диаметром. Исследуем направление прямой Симсона для точки $P$. Докажем, что она параллельна стороне $BC$.

Для того чтобы доказать, что прямая Симсона $ZXY$ параллельна стороне $BC$, достаточно показать, что угол, который прямая Симсона образует с прямой $AC$, равен углу, который прямая $BC$ образует с прямой $AC$.

1. Угол между прямой $BC$ и прямой $AC$ — это угол $\angle BCA$.

2. Найдем угол между прямой Симсона (линией $YXZ$) и прямой $AC$. Этот угол равен $\angle CYX$.

3. Как мы установили ранее, точки $P, X, C, Y$ лежат на окружности с диаметром $PC$. Отсюда, из свойств вписанных углов, $\angle CYX = \angle CPX$.

4. В прямоугольном треугольнике $\triangle PCX$ (угол $\angle PXC = 90^\circ$), угол $\angle CPX = 90^\circ - \angle PCX = 90^\circ - \angle PCB$.

5. Таким образом, для параллельности прямой Симсона и стороны $BC$ необходимо доказать равенство $\angle BCA = 90^\circ - \angle PCB$. Это равенство эквивалентно $\angle BCA + \angle PCB = 90^\circ$, то есть $\angle PCA = 90^\circ$.

6. По условию, точка $P$ диаметрально противоположна $A$, значит $AP$ — диаметр описанной окружности $\triangle ABC$.

7. Угол $\angle PCA$ является вписанным углом, опирающимся на диаметр $AP$. Следовательно, его величина составляет $90^\circ$.

Таким образом, условие $\angle PCA = 90^\circ$ выполняется, что и доказывает параллельность прямой Симсона и стороны $BC$.

Ответ: Если точка $P$ диаметрально противоположна вершине $A$, то ее прямая Симсона параллельна стороне $BC$ (стороне, противоположной вершине $A$).