Номер 1, страница 366 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

9 класс. Исследовательские задачи - номер 1, страница 366.

1 Проведите полное исследование задачи на построение треугольника ABC по углу А и сторонам AB и ВС. При каких условиях задача: а) имеет решение; б) имеет единственное решение; в) имеет не единственное решение (и сколько решений); г) не имеет решений?

Пусть в треугольнике $ABC$ заданы угол $A$, длина стороны $AB$ (обозначим её $c$) и длина стороны $BC$ (обозначим её $a$). Для построения треугольника выполним следующие шаги: 1. Построим угол, равный данному углу $A$. Пусть его вершина — точка $A$, а стороны — лучи $l_1$ и $l_2$. 2. На луче $l_1$ отложим отрезок $AB$ длиной $c$. 3. Вершина $C$ должна лежать на луче $l_2$ и одновременно находиться на расстоянии $a$ от точки $B$. Это означает, что точка $C$ является точкой пересечения луча $l_2$ и окружности с центром в точке $B$ и радиусом $a$.

Количество решений задачи зависит от количества точек пересечения этой окружности и луча $l_2$. Проведём высоту $BH$ из вершины $B$ на прямую, содержащую луч $l_2$. Длина этой высоты равна $h = AB \cdot \sin A = c \sin A$. Дальнейшее исследование зависит от величины угла $A$.

I. Угол A — острый ($0^\circ < A < 90^\circ$)

• Если $a < h$ (то есть $a < c \sin A$), окружность не пересекает прямую, содержащую луч $l_2$. Решений нет.
• Если $a = h$ (то есть $a = c \sin A$), окружность касается прямой в точке $H$. Так как угол $A$ острый, точка $H$ лежит на луче $l_2$. Задача имеет одно решение (прямоугольный треугольник $ABC$, где $\angle C = 90^\circ$).
• Если $a > h$ (то есть $a > c \sin A$), окружность пересекает прямую в двух точках.
  • Если при этом $a \ge c$, то одна точка пересечения лежит на луче $l_2$, а другая либо совпадает с точкой $A$ (при $a=c$), либо лежит на продолжении луча $l_2$ за точку $A$. В обоих случаях на луче $l_2$ есть только одна подходящая точка $C$. Задача имеет одно решение.
  • Если же $h < a < c$ (то есть $c \sin A < a < c$), обе точки пересечения лежат на луче $l_2$. Задача имеет два решения.

II. Угол A — прямой ($A = 90^\circ$)

• Треугольник $ABC$ является прямоугольным с гипотенузой $BC = a$ и катетом $AB = c$. Для существования такого треугольника необходимо, чтобы гипотенуза была длиннее катета, то есть $a > c$. Если это условие выполнено, решение единственно.
• Если $a \le c$, построение невозможно. Решений нет.

III. Угол A — тупой ($90^\circ < A < 180^\circ$)

• В треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Так как угол $A$ тупой, он является наибольшим углом треугольника, следовательно, сторона $BC = a$ должна быть больше стороны $AB = c$. Если $a > c$, окружность с центром в $B$ и радиусом $a$ пересечет луч $l_2$ в одной точке. Задача имеет одно решение.
• Если $a \le c$, построение невозможно. Решений нет.

Теперь обобщим эти случаи для ответа на поставленные вопросы.

а) имеет решение;

Задача имеет хотя бы одно решение, если выполняются условия для одного или двух решений. Объединяя все случаи, получаем: 1. Если $0^\circ < A < 90^\circ$, решение есть при $a \ge c \sin A$. 2. Если $A \ge 90^\circ$, решение есть при $a > c$.
Ответ: задача имеет решение, если при $0^\circ < A < 90^\circ$ выполняется условие $BC \ge AB \sin A$, а при $A \ge 90^\circ$ выполняется условие $BC > AB$.

б) имеет единственное решение;

Задача имеет ровно одно решение в следующих случаях: 1. Если $0^\circ < A < 90^\circ$ и при этом либо $a = c \sin A$ (получается прямоугольный треугольник), либо $a \ge c$. 2. Если $A \ge 90^\circ$ и при этом $a > c$.
Ответ: задача имеет единственное решение, если: 1) угол $A$ острый и $BC = AB \sin A$ или $BC \ge AB$; 2) угол $A$ прямой или тупой и $BC > AB$.

в) имеет не единственное решение (и сколько решений);

Этот случай возможен только когда угол $A$ острый, а длина стороны $a$ больше высоты $h$, но меньше прилежащей стороны $c$. То есть, $0^\circ < A < 90^\circ$ и $c \sin A < a < c$. В этом случае окружность пересекает луч $l_2$ в двух разных точках, что дает два разных треугольника.
Ответ: задача имеет два решения, если угол $A$ острый и выполняется двойное неравенство $AB \sin A < BC < AB$. В остальных случаях двух и более решений быть не может.

г) не имеет решений?

Задача не имеет решений, если условия из пункта (а) не выполняются. 1. Если $0^\circ < A < 90^\circ$, решений нет при $a < c \sin A$. 2. Если $A \ge 90^\circ$, решений нет при $a \le c$.
Ответ: задача не имеет решений, если: 1) угол $A$ острый и $BC < AB \sin A$; 2) угол $A$ прямой или тупой и $BC \le AB$.