Номер 1428, страница 364 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 15. Задачи повышенной трудности. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1428, страница 364.

1428 В угол вписаны две окружности, одна из которых касается сторон угла в точках М и N, а другая — в точках Р и Q. Докажите, что эти окружности на прямой МQ отсекают равные хорды.

Доказательство

Пусть A — вершина угла, а $l_1$ и $l_2$ — его стороны. Пусть окружность $\omega_1$ с центром $O_1$ и радиусом $r_1$ касается сторон $l_1$ и $l_2$ в точках M и N соответственно. Пусть окружность $\omega_2$ с центром $O_2$ и радиусом $r_2$ касается сторон $l_1$ и $l_2$ в точках P и Q соответственно. Таким образом, M и P лежат на $l_1$, а N и Q лежат на $l_2$. В задаче рассматривается прямая MQ.

Случай 1: Точки M и Q, указанные в условии, лежат на одной стороне угла.

Например, если точка касания второй окружности, обозначенная как Q, лежит на той же стороне угла, что и M (т.е. на $l_1$), то прямая MQ совпадает со стороной угла $l_1$. Окружность $\omega_1$ касается прямой $l_1$ в точке M, значит, она имеет с ней только одну общую точку, и длина отсекаемой хорды равна нулю. Аналогично, окружность $\omega_2$ касается $l_1$ в точке Q, и длина отсекаемой хорды также равна нулю. В этом случае утверждение задачи тривиально выполняется (0 = 0).

Случай 2: Точки M и Q лежат на разных сторонах угла.

Это основной случай, который, по-видимому, имеется в виду в условии. Точка M лежит на одной стороне угла, а точка Q — на другой.

Введем декартову систему координат. Пусть вершина угла A находится в начале координат (0,0), а биссектриса угла совпадает с положительным направлением оси Ox. Тогда стороны угла задаются уравнениями $y = kx$ и $y = -kx$ при $x \ge 0$ для некоторого $k > 0$.

Центры $O_1$ и $O_2$ обеих окружностей лежат на биссектрисе угла. Пусть их координаты $O_1(a, 0)$ и $O_2(b, 0)$, где $a, b > 0$. Без ограничения общности положим $a < b$.

Радиус окружности с центром на оси Ox, вписанной в данный угол, определяется как расстояние от центра до одной из сторон, например, до прямой $kx - y = 0$. Радиус $r$ окружности с центром $(c, 0)$ равен $r = \frac{|kc|}{\sqrt{k^2+1}}$. Следовательно, $r_1 = \frac{ka}{\sqrt{k^2+1}}$ и $r_2 = \frac{kb}{\sqrt{k^2+1}}$.

Пусть M лежит на стороне $y=-kx$, а Q — на стороне $y=kx$. Координаты точки касания окружности с центром $(c, 0)$ и стороны $y=-kx$ равны $(\frac{c}{k^2+1}, \frac{-kc}{k^2+1})$. Координаты точки касания со стороной $y=kx$ равны $(\frac{c}{k^2+1}, \frac{kc}{k^2+1})$.

Тогда координаты точек M и Q:

$M = (\frac{a}{k^2+1}, \frac{-ka}{k^2+1})$

$Q = (\frac{b}{k^2+1}, \frac{kb}{k^2+1})$

Пусть прямая MQ пересекает окружность $\omega_1$ в точках M и M', а окружность $\omega_2$ в точках Q и Q'. Длина отсекаемой хорды для $\omega_1$ — это $MM'$, для $\omega_2$ — $QQ'$. Чтобы доказать равенство длин хорд ($MM' = QQ'$), мы докажем равенство степеней точек M и Q относительно "чужих" окружностей: $\mathcal{P}_{\omega_2}(M) = \mathcal{P}_{\omega_1}(Q)$.

Степень точки X относительно окружности $\omega$ с центром O и радиусом r вычисляется как $\mathcal{P}_{\omega}(X) = |XO|^2 - r^2$.

Вычислим степень точки M относительно окружности $\omega_2$:

$\mathcal{P}_{\omega_2}(M) = |MO_2|^2 - r_2^2$

$|MO_2|^2 = (\frac{a}{k^2+1} - b)^2 + (\frac{-ka}{k^2+1} - 0)^2 = \frac{a^2}{(k^2+1)^2} - \frac{2ab}{k^2+1} + b^2 + \frac{k^2a^2}{(k^2+1)^2}$

$|MO_2|^2 = \frac{a^2(1+k^2)}{(k^2+1)^2} - \frac{2ab}{k^2+1} + b^2 = \frac{a^2}{k^2+1} - \frac{2ab}{k^2+1} + b^2$.

$\mathcal{P}_{\omega_2}(M) = (\frac{a^2 - 2ab}{k^2+1} + b^2) - (\frac{kb}{\sqrt{k^2+1}})^2 = \frac{a^2 - 2ab}{k^2+1} + b^2 - \frac{k^2b^2}{k^2+1} = \frac{a^2 - 2ab - k^2b^2}{k^2+1} + b^2$.

Вычислим степень точки Q относительно окружности $\omega_1$:

$\mathcal{P}_{\omega_1}(Q) = |QO_1|^2 - r_1^2$

$|QO_1|^2 = (\frac{b}{k^2+1} - a)^2 + (\frac{kb}{k^2+1} - 0)^2 = \frac{b^2}{(k^2+1)^2} - \frac{2ab}{k^2+1} + a^2 + \frac{k^2b^2}{(k^2+1)^2}$

$|QO_1|^2 = \frac{b^2(1+k^2)}{(k^2+1)^2} - \frac{2ab}{k^2+1} + a^2 = \frac{b^2}{k^2+1} - \frac{2ab}{k^2+1} + a^2$.

$\mathcal{P}_{\omega_1}(Q) = (\frac{b^2 - 2ab}{k^2+1} + a^2) - (\frac{ka}{\sqrt{k^2+1}})^2 = \frac{b^2 - 2ab}{k^2+1} + a^2 - \frac{k^2a^2}{k^2+1} = \frac{b^2 - 2ab - k^2a^2}{k^2+1} + a^2$.

Теперь сравним $\mathcal{P}_{\omega_2}(M)$ и $\mathcal{P}_{\omega_1}(Q)$:

$\frac{a^2 - 2ab - k^2b^2}{k^2+1} + b^2 = \frac{b^2 - 2ab - k^2a^2}{k^2+1} + a^2$

Приведем к общему знаменателю:

$a^2 - 2ab - k^2b^2 + b^2(k^2+1) = b^2 - 2ab - k^2a^2 + a^2(k^2+1)$

$a^2 - 2ab - k^2b^2 + b^2k^2 + b^2 = b^2 - 2ab - k^2a^2 + a^2k^2 + a^2$

$a^2 - 2ab + b^2 = b^2 - 2ab + a^2$

Это тождество, следовательно, $\mathcal{P}_{\omega_2}(M) = \mathcal{P}_{\omega_1}(Q)$.

С другой стороны, степень точки Q относительно $\omega_1$ равна произведению длин отрезков (с учетом знака) $\vec{QM} \cdot \vec{QM'}$. Степень точки M относительно $\omega_2$ равна $\vec{MQ} \cdot \vec{MQ'}$.

$\vec{QM} \cdot \vec{QM'} = \vec{MQ} \cdot \vec{MQ'}$

Поскольку $\vec{QM} = -\vec{MQ}$, получаем:

$-\vec{MQ} \cdot \vec{QM'} = \vec{MQ} \cdot \vec{MQ'}$

Так как $M \ne Q$, то $\vec{MQ} \ne 0$, и мы можем сократить:

$-\vec{QM'} = \vec{MQ'}$

$\vec{M'Q} = \vec{MQ'}$

В скалярной форме, выбрав на прямой MQ направление от M к Q, это означает $x_Q - x_{M'} = x_{Q'} - x_M$, или $x_M - x_{M'} = x_Q - x_{Q'}$. Это равенство длин направленных отрезков $M'M$ и $Q'Q$. Следовательно, их длины равны: $|MM'| = |QQ'|$.

Таким образом, длины хорд, отсекаемых окружностями $\omega_1$ и $\omega_2$ на прямой MQ, равны. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Длины хорд, отсекаемых на прямой MQ данными окружностями, действительно равны.