Номер 7, страница 328 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий
ISBN: 978-5-09-102538-5 (2023), 978-5-09-111167-5 (2024)
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 7 классе
Вопросы для повторения к главе 14. § 3. Симметрии фигур. Глава 14. Преобразования плоскости. Движения - номер 7, страница 328.
№7 (с. 328)
Условие. №7 (с. 328)
скриншот условия

7 Докажите, что при движении отрезок отображается на отрезок.
Решение 2. №7 (с. 328)

Решение 4. №7 (с. 328)

Решение 11. №7 (с. 328)
Для доказательства используем определение движения (изометрии) и определение отрезка через расстояния.
Движение — это преобразование плоскости, которое сохраняет расстояние между любыми двумя точками. То есть, если точки $A$ и $B$ при движении отображаются в точки $A'$ и $B'$, то длина отрезка $AB$ равна длине отрезка $A'B'$: $AB = A'B'$.
Отрезок $AB$ — это множество всех точек $C$ на прямой, проходящей через $A$ и $B$, для которых выполняется равенство $AC + CB = AB$. Это равенство является следствием того, что точка $C$ лежит между точками $A$ и $B$.
Пусть нам дан отрезок $AB$ и некоторое движение $f$. При этом движении концы отрезка, точки $A$ и $B$, отображаются в точки $A'$ и $B'$ соответственно. Мы должны доказать, что образом всего отрезка $AB$ является отрезок $A'B'$.
Доказательство состоит из двух частей.
1. Докажем, что любая точка отрезка $AB$ переходит в точку отрезка $A'B'$.
Возьмем произвольную точку $C$, которая принадлежит отрезку $AB$. Согласно определению отрезка, для нее справедливо равенство: $AC + CB = AB$
Пусть при движении $f$ точка $C$ отображается в точку $C'$. Так как движение сохраняет расстояния, мы имеем следующие равенства: $A'C' = AC$ $C'B' = CB$ $A'B' = AB$
Заменим длины в исходном равенстве $AC + CB = AB$ на длины их образов: $A'C' + C'B' = A'B'$
Это равенство означает, что точка $C'$ лежит на прямой, проходящей через точки $A'$ и $B'$, и расположена между ними. Следовательно, точка $C'$ принадлежит отрезку $A'B'$. Поскольку точка $C$ была выбрана произвольно, это верно для любой точки отрезка $AB$. Таким образом, образ отрезка $AB$ является подмножеством отрезка $A'B'$.
2. Докажем, что любая точка отрезка $A'B'$ является образом некоторой точки отрезка $AB$.
Возьмем произвольную точку $C'$ на отрезке $A'B'$. Для нее выполняется равенство: $A'C' + C'B' = A'B'$
Движение является взаимно-однозначным отображением, а значит, для него существует обратное преобразование $f^{-1}$, которое также является движением. Это означает, что для точки $C'$ существует единственная точка-прообраз $C$ такая, что $f(C) = C'$.
Поскольку обратное преобразование $f^{-1}$ также сохраняет расстояния, мы можем записать: $AC = A'C'$ $CB = C'B'$ $AB = A'B'$
Подставим эти значения в равенство для точек $A'$, $C'$, $B'$: $AC + CB = AB$
Это равенство по определению означает, что точка $C$ лежит на отрезке $AB$. Так как точка $C'$ была выбрана произвольно, это верно для любой точки отрезка $A'B'$.
Объединяя результаты первой и второй частей, мы приходим к выводу, что множество образов точек отрезка $AB$ в точности совпадает с множеством точек отрезка $A'B'$.
Ответ: Доказано, что при движении отрезок отображается на отрезок, равный исходному. Что и требовалось доказать.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 7-9 класс, для упражнения номер 7 расположенного на странице 328 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №7 (с. 328), авторов: Атанасян (Левон Сергеевич), Бутузов (Валентин Фёдорович), Кадомцев (Сергей Борисович), Позняк (Эдуард Генрихович), Юдина (Ирина Игоревна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.