Страница 308 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

1195 Автомобиль прошёл 989 м. Найдите диаметр колеса автомобиля, если известно, что оно сделало 500 оборотов.

Чтобы найти диаметр колеса, нам необходимо сначала вычислить длину его окружности. Длина окружности колеса — это расстояние, которое автомобиль проезжает за один полный оборот колеса.

Известно, что автомобиль прошел расстояние $S = 989$ м, а колесо сделало $N = 500$ оборотов. Чтобы найти расстояние, которое соответствует одному обороту (то есть длину окружности $C$), нужно общее расстояние разделить на количество оборотов:
$C = \frac{S}{N}$

Подставим числовые значения в формулу:
$C = \frac{989 \text{ м}}{500} = 1.978$ м

Теперь у нас есть длина окружности колеса. Длина окружности связана с её диаметром $d$ через число $\pi$ по известной формуле:
$C = \pi d$

Из этой формулы мы можем выразить диаметр:
$d = \frac{C}{\pi}$

Подставим найденное значение длины окружности $C = 1.978$ м:
$d = \frac{1.978}{\pi}$ м

Это точный ответ. Для практического применения можно вычислить приближенное значение, используя $\pi \approx 3.14$:
$d \approx \frac{1.978}{3.14} \approx 0.63$ м

Также можно выразить диаметр в сантиметрах, умножив значение в метрах на 100:
$0.63 \text{ м} \times 100 = 63$ см

Ответ: диаметр колеса равен $\frac{1.978}{\pi}$ м, что приблизительно составляет 0.63 м или 63 см.

1196 Метр составляет приближённо 140 000 000 часть земного экватора. Найдите диаметр Земли в километрах, считая, что Земля имеет форму шара.

Согласно условию задачи, один метр составляет $\frac{1}{40 \, 000 \, 000}$ часть длины земного экватора. Из этого следует, что полная длина земного экватора, которую мы обозначим как $C$, составляет 40 000 000 метров.

$C = 1 \text{ м} \times 40 \, 000 \, 000 = 40 \, 000 \, 000 \text{ м}$

Для дальнейших расчетов переведем эту длину в километры, зная, что в 1 километре 1000 метров:

$C = \frac{40 \, 000 \, 000}{1000} \text{ км} = 40 \, 000 \text{ км}$

Поскольку по условию Земля имеет форму шара, ее экватор представляет собой окружность. Длина окружности $C$ связана с ее диаметром $D$ через формулу:

$C = \pi D$

Чтобы найти диаметр, выразим его из этой формулы:

$D = \frac{C}{\pi}$

Теперь подставим найденное значение длины экватора $C = 40 \, 000$ км и вычислим приближенное значение диаметра, используя $\pi \approx 3,14159$:

$D = \frac{40 \, 000}{\pi} \text{ км} \approx \frac{40 \, 000}{3.14159} \approx 12732,4 \text{ км}$

Округлив результат до целого числа, получаем диаметр Земли.

Ответ: приблизительно 12732 км.

1197 Вычислите длину круговой орбиты искусственного спутника Земли, если спутник вращается на расстоянии 320 км от поверхности Земли, а радиус Земли равен 6370 км.

Для того чтобы вычислить длину круговой орбиты искусственного спутника Земли, необходимо выполнить два шага: сначала определить радиус орбиты, а затем, используя этот радиус, вычислить длину окружности.

1. Найдем радиус орбиты спутника.
Радиус орбиты ($R_{орб}$) — это расстояние от центра Земли до спутника. Он складывается из радиуса Земли ($R_{Земли}$) и высоты, на которой спутник вращается над поверхностью Земли ($h$).

По условию задачи:
Радиус Земли $R_{Земли} = 6370$ км.
Высота спутника над поверхностью $h = 320$ км.

Следовательно, радиус орбиты равен:
$R_{орб} = R_{Земли} + h = 6370 \text{ км} + 320 \text{ км} = 6690 \text{ км}$.

2. Вычислим длину орбиты.
Длина круговой орбиты вычисляется по формуле длины окружности:
$C = 2 \pi R_{орб}$
где $C$ — длина орбиты, а $\pi$ — математическая константа, которую для расчетов примем равной 3,14.

Подставим известные значения в формулу:
$C \approx 2 \cdot 3,14 \cdot 6690 \text{ км} = 6,28 \cdot 6690 \text{ км} = 42013,2 \text{ км}$.

Ответ: 42013,2 км.

1198 Найдите длину дуги окружности радиуса 6 см, если её градусная мера равна: а) 30°; б) 45°; в) 60°; г) 90°.

Для нахождения длины дуги окружности ($L$) используется формула, связывающая радиус окружности ($R$) и градусную меру дуги ($\alpha$):

$L = \frac{\pi R \alpha}{180°}$

По условию задачи, радиус окружности $R = 6$ см. Подставим это значение в формулу и рассчитаем длину дуги для каждого из заданных углов.

а) Для дуги с градусной мерой $\alpha = 30°$:
$L = \frac{\pi \cdot 6 \cdot 30}{180} = \frac{180\pi}{180} = \pi$ см.
Ответ: $\pi$ см.

б) Для дуги с градусной мерой $\alpha = 45°$:
$L = \frac{\pi \cdot 6 \cdot 45}{180} = \frac{270\pi}{180} = \frac{3}{2}\pi = 1.5\pi$ см.
Ответ: $1.5\pi$ см.

в) Для дуги с градусной мерой $\alpha = 60°$:
$L = \frac{\pi \cdot 6 \cdot 60}{180} = \frac{360\pi}{180} = 2\pi$ см.
Ответ: $2\pi$ см.

г) Для дуги с градусной мерой $\alpha = 90°$:
$L = \frac{\pi \cdot 6 \cdot 90}{180} = \frac{540\pi}{180} = 3\pi$ см.
Ответ: $3\pi$ см.

1199 Расстояние между серединами зубьев зубчатого колеса, измеренное по дуге окружности, равно 47,1 мм. Диаметр колеса равен 450 мм. Сколько зубьев имеет колесо?

Чтобы определить количество зубьев на колесе, необходимо найти общую длину окружности колеса и разделить её на расстояние между серединами соседних зубьев.

1. Сначала вычислим длину окружности ($C$) зубчатого колеса. Диаметр колеса ($d$) дан и равен 450 мм. Формула для вычисления длины окружности через диаметр:

$C = \pi \cdot d$

Подставим значение диаметра в формулу:

$C = \pi \cdot 450$ мм.

2. Теперь, зная длину всей окружности, мы можем найти количество зубьев ($n$). Нам дано, что расстояние между серединами соседних зубьев, измеренное по дуге ($l$), составляет 47,1 мм. Это расстояние соответствует длине дуги, на которой размещается один зуб и один промежуток. Чтобы найти общее количество таких сегментов (и, следовательно, зубьев), разделим длину окружности на длину одного сегмента:

$n = \frac{C}{l} = \frac{\pi \cdot 450}{47,1}$

Заметим, что $47,1 = 15 \cdot 3,14$. Если мы примем $\pi \approx 3,14$, то расчет упрощается:

$n \approx \frac{3,14 \cdot 450}{15 \cdot 3,14} = \frac{450}{15} = 30$

Число зубьев должно быть целым, и наши расчеты дают целое число, что подтверждает правильность вычислений.

Ответ: 30 зубьев.

1200 Шлифовальный камень, имеющий форму диска, находится в защитном кожухе (рис. 353). Диаметр камня равен 58 см, дуга незащищённой его части равна 117°. Найдите длину дуги незащищённой части камня.

Для того чтобы найти длину дуги незащищенной части камня, необходимо воспользоваться формулой для вычисления длины дуги окружности. Формула имеет вид:

$L = \frac{\pi R \alpha}{180^{\circ}}$

где $L$ — это искомая длина дуги, $R$ — радиус окружности (камня), а $\alpha$ — градусная мера дуги.

1. Находим радиус шлифовального камня

По условию задачи, диаметр камня $d$ равен 58 см. Радиус $R$ — это половина диаметра:

$R = \frac{d}{2} = \frac{58}{2} = 29$ см.

2. Вычисляем длину дуги

Градусная мера дуги незащищенной части $\alpha$ дана в условии и составляет 117°.

Теперь подставим известные значения радиуса $R$ и угла $\alpha$ в формулу длины дуги:

$L = \frac{\pi \cdot 29 \cdot 117}{180}$

Для упрощения выражения сократим дробь $\frac{117}{180}$. Числитель и знаменатель делятся на 9:

$117 \div 9 = 13$

$180 \div 9 = 20$

Подставим сокращенную дробь обратно в формулу:

$L = \frac{\pi \cdot 29 \cdot 13}{20} = \frac{377\pi}{20}$

Преобразуем полученную дробь в десятичную:

$L = 18.85\pi$ см.

Ответ: $18.85\pi$ см.

1201 Найдите длину маятника стенных часов, если угол его колебания составляет 38°, а длина дуги, которую описывает конец маятника, равна 24 см.

Для решения этой задачи мы рассматриваем движение конца маятника как движение по дуге окружности. В этой модели длина маятника является радиусом ($r$) окружности, угол его колебания — центральным углом ($\alpha$), а путь, который описывает конец маятника, — это длина дуги ($L$).

По условию задачи нам известны следующие величины:

Центральный угол $\alpha = 38^{\circ}$.

Длина дуги $L = 24$ см.

Формула для вычисления длины дуги окружности, когда угол задан в градусах, выглядит так:

$L = \frac{\pi r \alpha}{180^{\circ}}$

Нам необходимо найти длину маятника, то есть радиус $r$. Для этого выразим $r$ из формулы:

$r = \frac{180^{\circ} \cdot L}{\pi \alpha}$

Теперь подставим в эту формулу известные значения $L$ и $\alpha$:

$r = \frac{180 \cdot 24}{\pi \cdot 38}$

Выполним вычисления, сократив дробь:

$r = \frac{4320}{38\pi} = \frac{2160}{19\pi}$

Для получения численного ответа используем приближенное значение числа $\pi \approx 3.14159$:

$r \approx \frac{2160}{19 \cdot 3.14159} \approx \frac{2160}{59.69021} \approx 36.186$ см.

Округлим полученный результат до одного знака после запятой.

Ответ: длина маятника равна примерно 36,2 см.

1202 Радиус закругления пути железнодорожного полотна равен 5 км, а длина дуги закругления — 400 м. Какова градусная мера дуги закругления?

Для решения данной задачи необходимо найти градусную меру дуги, зная ее длину и радиус окружности, частью которой является эта дуга.

Дано:
Радиус закругления $R = 5 \text{ км}$.
Длина дуги закругления $L = 400 \text{ м}$.

1. Приведение единиц измерения к единой системе.
Поскольку радиус и длина дуги даны в разных единицах, приведем их к одной, например, к метрам.
$R = 5 \text{ км} = 5 \times 1000 \text{ м} = 5000 \text{ м}$.

2. Использование формулы длины дуги.
Длина дуги окружности $L$ связана с ее радиусом $R$ и центральным углом $\alpha$, выраженным в градусах, следующей формулой:
$L = \frac{\pi R \alpha}{180^\circ}$

3. Вычисление градусной меры.
Выразим из этой формулы искомый угол $\alpha$:
$\alpha = \frac{L \cdot 180^\circ}{\pi R}$
Теперь подставим известные числовые значения $L = 400 \text{ м}$ и $R = 5000 \text{ м}$:
$\alpha = \frac{400 \cdot 180^\circ}{\pi \cdot 5000}$
Сократим дробь:
$\alpha = \frac{4 \cdot 180^\circ}{50 \cdot \pi} = \frac{2 \cdot 180^\circ}{25 \cdot \pi} = \frac{360^\circ}{25\pi} = \frac{72^\circ}{5\pi}$
Это точное значение угла. Для получения численного ответа, используем приближенное значение числа $\pi \approx 3.14159$:
$\alpha \approx \frac{72^\circ}{5 \cdot 3.14159} \approx \frac{72^\circ}{15.70795} \approx 4.58366^\circ$
Округлим результат до сотых:
$\alpha \approx 4.58^\circ$

Ответ: Градусная мера дуги закругления равна $\frac{72}{5\pi}^\circ$, что приблизительно составляет $4.58^\circ$.

1203 Перечертите таблицу, и, используя связь между градусной и радианной мерой одного и того же угла, заполните пустые клетки.

Для заполнения таблицы воспользуемся связью между градусной и радианной мерами угла: $180^\circ = \pi$ радиан. Из этого соотношения следуют формулы для перевода. Для перевода градусов в радианы используется формула: $\alpha_{\text{рад}} = \alpha_{\text{град}} \cdot \frac{\pi}{180}$. Для перевода радиан в градусы используется формула: $\alpha_{\text{град}} = \alpha_{\text{рад}} \cdot \frac{180^\circ}{\pi}$.

Выполним вычисления для каждой пустой клетки таблицы:

Для радианной меры $\pi$

Переведем $\pi$ радиан в градусы, используя основное соотношение $\pi \text{ рад} = 180^\circ$.

Ответ: $180^\circ$

Для градусной меры $1^\circ$

Переведем $1^\circ$ в радианы, используя формулу перевода:

$1^\circ = 1 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{180}$ рад.

Ответ: $\frac{\pi}{180}$

Для градусной меры $90^\circ$

Переведем $90^\circ$ в радианы:

$90^\circ = 90 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{90\pi}{180} = \frac{\pi}{2}$ рад.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$

Для радианной меры $\frac{\pi}{3}$

Переведем $\frac{\pi}{3}$ радиан в градусы:

$\frac{\pi}{3} \text{ рад} = \frac{\pi}{3} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{180^\circ}{3} = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$

Для радианной меры $\frac{\pi}{5}$

Переведем $\frac{\pi}{5}$ радиан в градусы:

$\frac{\pi}{5} \text{ рад} = \frac{\pi}{5} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{180^\circ}{5} = 36^\circ$.

Ответ: $36^\circ$

Для градусной меры $45^\circ$

Переведем $45^\circ$ в радианы:

$45^\circ = 45 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{45\pi}{180} = \frac{\pi}{4}$ рад.

Ответ: $\frac{\pi}{4}$

Для градусной меры $30^\circ$

Переведем $30^\circ$ в радианы:

$30^\circ = 30 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{30\pi}{180} = \frac{\pi}{6}$ рад.

Ответ: $\frac{\pi}{6}$

Для радианной меры $\frac{3\pi}{4}$

Переведем $\frac{3\pi}{4}$ радиан в градусы:

$\frac{3\pi}{4} \text{ рад} = \frac{3\pi}{4} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{3 \cdot 180^\circ}{4} = 3 \cdot 45^\circ = 135^\circ$.

Ответ: $135^\circ$

Для радианной меры $\frac{2\pi}{3}$

Переведем $\frac{2\pi}{3}$ радиан в градусы:

$\frac{2\pi}{3} \text{ рад} = \frac{2\pi}{3} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{2 \cdot 180^\circ}{3} = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$

Для градусной меры $150^\circ$

Переведем $150^\circ$ в радианы:

$150^\circ = 150 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{150\pi}{180} = \frac{15\pi}{18} = \frac{5\pi}{6}$ рад.

Ответ: $\frac{5\pi}{6}$

Для градусной меры $n^\circ$

Переведем $n^\circ$ в радианы по общей формуле:

$n^\circ = n \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{n\pi}{180}$ рад.

Ответ: $\frac{n\pi}{180}$

Для радианной меры $\phi$

Переведем $\phi$ радиан в градусы по общей формуле:

$\phi \text{ рад} = \phi \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \left(\frac{180\phi}{\pi}\right)^\circ$.

Ответ: $\left(\frac{180\phi}{\pi}\right)^\circ$

1204 Постройте угол, радианная мера которого равна: а) π3; б) π4; в) π2; г) π6; д) π; е) 2π3.

Для построения угла, заданного в радианах, необходимо сначала перевести его радианную меру в градусную. Для этого используется формула: $\alpha_{градусы} = \alpha_{радианы} \cdot \frac{180^\circ}{\pi}$. Построение угла выполняется в декартовой системе координат. Вершина угла помещается в начало координат, а начальная сторона совмещается с положительным направлением оси Ox. От начальной стороны против часовой стрелки откладывается угол нужной величины.

а) Угол равен $\frac{\pi}{3}$ радиан. Переведем эту величину в градусы: $\frac{\pi}{3} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{180^\circ}{3} = 60^\circ$. Для построения необходимо отложить от положительной полуоси Ox угол в $60^\circ$ против часовой стрелки. Терминальная (конечная) сторона угла будет находиться в первой координатной четверти.
Ответ: Угол $60^\circ$, построенный от положительной полуоси Ox против часовой стрелки.

б) Угол равен $\frac{\pi}{4}$ радиан. Переведем эту величину в градусы: $\frac{\pi}{4} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{180^\circ}{4} = 45^\circ$. Откладываем от положительной полуоси Ox угол в $45^\circ$ против часовой стрелки. Терминальная сторона этого угла является биссектрисой первой координатной четверти.
Ответ: Угол $45^\circ$, построенный от положительной полуоси Ox против часовой стрелки.

в) Угол равен $\frac{\pi}{2}$ радиан. Переведем эту величину в градусы: $\frac{\pi}{2} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$. Откладываем от положительной полуоси Ox угол в $90^\circ$ против часовой стрелки. Терминальная сторона этого угла совпадет с положительным направлением оси Oy. Это прямой угол.
Ответ: Угол $90^\circ$, конечная сторона которого совпадает с положительной полуосью Oy.

г) Угол равен $\frac{\pi}{6}$ радиан. Переведем эту величину в градусы: $\frac{\pi}{6} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{180^\circ}{6} = 30^\circ$. Откладываем от положительной полуоси Ox угол в $30^\circ$ против часовой стрелки. Терминальная сторона угла будет находиться в первой координатной четверти.
Ответ: Угол $30^\circ$, построенный от положительной полуоси Ox против часовой стрелки.

д) Угол равен $\pi$ радиан. Переведем эту величину в градусы: $\pi \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 180^\circ$. Откладываем от положительной полуоси Ox угол в $180^\circ$ против часовой стрелки. Терминальная сторона этого угла совпадет с отрицательным направлением оси Ox. Это развернутый угол.
Ответ: Угол $180^\circ$, конечная сторона которого совпадает с отрицательной полуосью Ox.

е) Угол равен $\frac{2\pi}{3}$ радиан. Переведем эту величину в градусы: $\frac{2\pi}{3} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{2 \cdot 180^\circ}{3} = 120^\circ$. Откладываем от положительной полуоси Ox угол в $120^\circ$ против часовой стрелки. Терминальная сторона угла будет находиться во второй координатной четверти.
Ответ: Угол $120^\circ$, построенный от положительной полуоси Ox против часовой стрелки.

1205 Перечертите таблицу и, используя формулу для площади S круга радиуса R, заполните пустые клетки. Воспользуйтесь значением π ≈ 3,14.

Для заполнения пустых клеток таблицы воспользуемся формулой площади круга $S = \pi R^2$, где $R$ — радиус круга. В расчетах будем использовать приближенное значение $\pi \approx 3,14$. Для нахождения радиуса по известной площади используется обратная формула: $R = \sqrt{\frac{S}{\pi}}$.

1. Расчет для первого столбца, где $R=2$:

Находим площадь $S$:
$S = \pi R^2 \approx 3,14 \cdot 2^2 = 3,14 \cdot 4 = 12,56$.
Ответ: 12,56.

2. Расчет для второго столбца, где $R=5$:

Находим площадь $S$:
$S = \pi R^2 \approx 3,14 \cdot 5^2 = 3,14 \cdot 25 = 78,5$.
Ответ: 78,5.

3. Расчет для третьего столбца, где $S=9$:

Находим радиус $R$, округляя результат до сотых:
$R = \sqrt{\frac{S}{\pi}} \approx \sqrt{\frac{9}{3,14}} \approx \sqrt{2,8662} \approx 1,69$.
Ответ: 1,69.

4. Расчет для четвертого столбца, где $R=\frac{2}{7}$:

Находим площадь $S$, округляя результат до сотых:
$S = \pi R^2 = \pi \cdot \left(\frac{2}{7}\right)^2 = \frac{4\pi}{49} \approx \frac{4 \cdot 3,14}{49} = \frac{12,56}{49} \approx 0,26$.
Ответ: 0,26.

5. Расчет для пятого столбца, где $S=49\pi$:

Находим радиус $R$:
$S = \pi R^2 \implies 49\pi = \pi R^2 \implies R^2 = 49$.
Так как радиус — положительная величина, $R = \sqrt{49} = 7$.
Ответ: 7.

6. Расчет для шестого столбца, где $R=54,3$:

Находим площадь $S$, округляя результат до сотых:
$S = \pi R^2 \approx 3,14 \cdot (54,3)^2 = 3,14 \cdot 2948,49 = 9257,7666 \approx 9257,77$.
Ответ: 9257,77.

7. Расчет для седьмого столбца, где $R=\sqrt{3}$:

Находим площадь $S$:
$S = \pi R^2 = \pi \cdot (\sqrt{3})^2 = 3\pi \approx 3 \cdot 3,14 = 9,42$.
Ответ: 9,42.

8. Расчет для восьмого столбца, где $S=6,25$:

Находим радиус $R$, округляя результат до сотых:
$R = \sqrt{\frac{S}{\pi}} \approx \sqrt{\frac{6,25}{3,14}} \approx \sqrt{1,9904} \approx 1,41$.
Ответ: 1,41.

Заполненная таблица: