Страница 301 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

1177 На рисунке 347, б изображён правильный треугольник, вписанный в окружность радиуса R. Перечертите таблицу в тетрадь и заполните пустые клетки (a₃ — сторона треугольника, Р — периметр треугольника, S — его площадь, r — радиус вписанной окружности).

Для решения задачи воспользуемся формулами, связывающими сторону правильного (равностороннего) треугольника $a_3$ с радиусом описанной окружности $R$, радиусом вписанной окружности $r$, периметром $P$ и площадью $S$.

Основные формулы:

• Периметр: $P = 3a_3$
• Площадь: $S = \frac{a_3^2\sqrt{3}}{4}$
• Радиус описанной окружности: $R = \frac{a_3\sqrt{3}}{3}$
• Радиус вписанной окружности: $r = \frac{a_3\sqrt{3}}{6}$

Из этих формул также следуют полезные соотношения, которые мы будем использовать:

• $R = 2r$
• $a_3 = R\sqrt{3}$
• $a_3 = 2r\sqrt{3}$

Теперь заполним каждую строку таблицы.

1

Дано: $R = 3$.

1. Находим радиус вписанной окружности $r$: $r = \frac{R}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$.

2. Находим сторону треугольника $a_3$: $a_3 = R\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$.

3. Находим периметр $P$: $P = 3a_3 = 3 \cdot 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3}$.

4. Находим площадь $S$: $S = \frac{a_3^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(3\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{27\sqrt{3}}{4}$.

Ответ: $r = 1.5$, $a_3 = 3\sqrt{3}$, $P = 9\sqrt{3}$, $S = \frac{27\sqrt{3}}{4}$.

2

Дано: $S = 10$.

1. Находим сторону $a_3$ из формулы площади: $S = \frac{a_3^2\sqrt{3}}{4} \implies 10 = \frac{a_3^2\sqrt{3}}{4}$. $a_3^2 = \frac{40}{\sqrt{3}} = \frac{40\sqrt{3}}{3}$. $a_3 = \sqrt{\frac{40\sqrt{3}}{3}} = 2\sqrt{\frac{10\sqrt{3}}{3}}$.

2. Находим периметр $P$: $P = 3a_3 = 3 \cdot 2\sqrt{\frac{10\sqrt{3}}{3}} = 6\sqrt{\frac{10\sqrt{3}}{3}}$.

3. Находим радиус описанной окружности $R$: $R = \frac{a_3\sqrt{3}}{3} = \frac{2\sqrt{\frac{10\sqrt{3}}{3}}\sqrt{3}}{3} = \frac{2}{3}\sqrt{\frac{10\sqrt{3}}{3} \cdot 3} = \frac{2}{3}\sqrt{10\sqrt{3}}$.

4. Находим радиус вписанной окружности $r$: $r = \frac{R}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}\sqrt{10\sqrt{3}} = \frac{1}{3}\sqrt{10\sqrt{3}}$.

Ответ: $R = \frac{2}{3}\sqrt{10\sqrt{3}}$, $r = \frac{1}{3}\sqrt{10\sqrt{3}}$, $a_3 = 2\sqrt{\frac{10\sqrt{3}}{3}}$, $P = 6\sqrt{\frac{10\sqrt{3}}{3}}$.

3

Дано: $r = 2$.

1. Находим радиус описанной окружности $R$: $R = 2r = 2 \cdot 2 = 4$.

2. Находим сторону треугольника $a_3$: $a_3 = 2r\sqrt{3} = 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$.

3. Находим периметр $P$: $P = 3a_3 = 3 \cdot 4\sqrt{3} = 12\sqrt{3}$.

4. Находим площадь $S$: $S = \frac{a_3^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(4\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{16 \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}{4} = 12\sqrt{3}$.

Ответ: $R = 4$, $a_3 = 4\sqrt{3}$, $P = 12\sqrt{3}$, $S = 12\sqrt{3}$.

4

Дано: $a_3 = 5$.

1. Находим периметр $P$: $P = 3a_3 = 3 \cdot 5 = 15$.

2. Находим площадь $S$: $S = \frac{a_3^2\sqrt{3}}{4} = \frac{5^2\sqrt{3}}{4} = \frac{25\sqrt{3}}{4}$.

3. Находим радиус описанной окружности $R$: $R = \frac{a_3\sqrt{3}}{3} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$.

4. Находим радиус вписанной окружности $r$: $r = \frac{a_3\sqrt{3}}{6} = \frac{5\sqrt{3}}{6}$.

Ответ: $R = \frac{5\sqrt{3}}{3}$, $r = \frac{5\sqrt{3}}{6}$, $P = 15$, $S = \frac{25\sqrt{3}}{4}$.

5

Дано: $P = 6$.

1. Находим сторону $a_3$ из формулы периметра: $P = 3a_3 \implies 6 = 3a_3 \implies a_3 = 2$.

2. Находим площадь $S$: $S = \frac{a_3^2\sqrt{3}}{4} = \frac{2^2\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$.

3. Находим радиус описанной окружности $R$: $R = \frac{a_3\sqrt{3}}{3} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$.

4. Находим радиус вписанной окружности $r$: $r = \frac{a_3\sqrt{3}}{6} = \frac{2\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $R = \frac{2\sqrt{3}}{3}$, $r = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $a_3 = 2$, $S = \sqrt{3}$.

Итоговая заполненная таблица:

1178 Периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, равен 18 см. Найдите сторону квадрата, вписанного в ту же окружность.

Для решения этой задачи необходимо сначала найти радиус окружности, используя данные о вписанном правильном треугольнике, а затем с помощью этого радиуса вычислить сторону квадрата, вписанного в ту же окружность.

1. Нахождение стороны правильного треугольника
Периметр правильного (равностороннего) треугольника ($P_3$) вычисляется по формуле $P_3 = 3 \cdot a_3$, где $a_3$ — длина его стороны. По условию задачи, $P_3 = 18$ см. Отсюда мы можем найти сторону треугольника:
$a_3 = \frac{P_3}{3} = \frac{18}{3} = 6$ см.

2. Нахождение радиуса описанной окружности
Сторона правильного треугольника ($a_3$) связана с радиусом описанной около него окружности ($R$) соотношением:
$a_3 = R\sqrt{3}$
Выразим радиус $R$ из этой формулы, подставив известное значение $a_3$:
$R = \frac{a_3}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}}$
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:
$R = \frac{6 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.

3. Нахождение стороны вписанного квадрата
Теперь, когда мы знаем радиус окружности, мы можем найти сторону квадрата ($a_4$), вписанного в эту же окружность. Сторона вписанного квадрата связана с радиусом окружности ($R$) формулой:
$a_4 = R\sqrt{2}$
Подставим найденное значение $R = 2\sqrt{3}$ см:
$a_4 = (2\sqrt{3}) \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{3 \cdot 2} = 2\sqrt{6}$ см.

Ответ: $2\sqrt{6}$ см.

1179 Сечение головки газового вентиля имеет форму правильного треугольника, сторона которого равна 3 см. Каким должен быть минимальный диаметр круглого железного стержня, из которого изготовляют вентиль?

Чтобы изготовить из круглого железного стержня головку вентиля, сечение которой имеет форму правильного треугольника, этот треугольник должен быть вписан в окружность, представляющую собой сечение стержня. Минимально возможный диаметр стержня будет равен диаметру окружности, описанной около этого правильного треугольника.

Пусть сторона правильного треугольника равна $a$. По условию задачи, $a = 3$ см.

Радиус $R$ окружности, описанной около правильного треугольника со стороной $a$, вычисляется по формуле:$R = \frac{a \sqrt{3}}{3}$

Подставим значение стороны $a = 3$ см в эту формулу, чтобы найти радиус:$R = \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$ см.

Минимальный диаметр стержня $D$ равен двум радиусам описанной окружности:$D = 2R$$D = 2 \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ см.

Таким образом, минимальный диаметр круглого железного стержня, из которого можно изготовить вентиль, составляет $2\sqrt{3}$ см.

Ответ: $2\sqrt{3}$ см.

1180 Поперечное сечение деревянного бруска является квадратом со стороной 6 см. Найдите наибольший диаметр круглого стержня, который можно выточить из этого бруска.

Для решения этой задачи необходимо представить поперечное сечение бруска и стержня. Поперечное сечение бруска — это квадрат со стороной 6 см. Поперечное сечение круглого стержня — это круг.

Чтобы выточить из квадратного бруска стержень наибольшего диаметра, нужно вписать в квадрат поперечного сечения круг максимального размера. Такой круг будет касаться всех четырех сторон квадрата.

Диаметр круга, вписанного в квадрат, равен стороне этого квадрата.

Пусть a — это сторона квадрата, а d — диаметр вписанного круга. Тогда справедливо равенство:

$d = a$

По условию задачи, сторона квадрата равна 6 см. Следовательно, наибольший диаметр круглого стержня, который можно выточить из этого бруска, также равен 6 см.

$d = 6 \text{ см}$

Ответ: 6 см.

1181 Около окружности описаны квадрат и правильный шестиугольник. Найдите периметр квадрата, если периметр шестиугольника равен 48 см.

Пусть $r$ — это радиус окружности. Так как и квадрат, и правильный шестиугольник описаны около этой окружности, то эта окружность является вписанной для обоих многоугольников. Радиус вписанной окружности одинаков для обеих фигур.

1. Найдем радиус вписанной окружности, используя данные о правильном шестиугольнике. Периметр правильного шестиугольника, $P_6$, равен 48 см. Периметр связан с длиной стороны $a_6$ формулой $P_6 = 6 \cdot a_6$. Выразим сторону шестиугольника: $a_6 = \frac{P_6}{6} = \frac{48}{6} = 8$ см.

Радиус $r$ окружности, вписанной в правильный шестиугольник, определяется по формуле: $r = \frac{a_6 \sqrt{3}}{2}$.

Подставим значение стороны $a_6$: $r = \frac{8 \sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.

2. Теперь найдем периметр квадрата, используя найденный радиус. Для квадрата, описанного около окружности, его сторона $a_4$ равна диаметру вписанной окружности, то есть $a_4 = 2r$.

Найдем сторону квадрата: $a_4 = 2 \cdot 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$ см.

Периметр квадрата $P_4$ вычисляется по формуле $P_4 = 4 \cdot a_4$. $P_4 = 4 \cdot 8\sqrt{3} = 32\sqrt{3}$ см.

Ответ: $32\sqrt{3}$ см.

1182 Около правильного треугольника описана окружность радиуса R. Докажите, что R = 2r, где r — радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Рассмотрим правильный (равносторонний) треугольник. В правильном треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают. Обозначим этот общий центр точкой $O$.

Радиус описанной окружности $R$ — это расстояние от центра $O$ до любой из вершин треугольника. Таким образом, $R$ равен длине отрезка, соединяющего центр с вершиной, например, $OA$.

Радиус вписанной окружности $r$ — это расстояние от центра $O$ до любой из сторон треугольника. Проведем из вершины $A$ высоту $AM$ к стороне $BC$. Поскольку треугольник является правильным, его высота $AM$ одновременно является и медианой, и биссектрисой. Центр $O$ лежит на отрезке $AM$. Расстояние от центра $O$ до стороны $BC$ равно длине перпендикуляра $OM$. Таким образом, $r = OM$.

Так как в правильном треугольнике все замечательные точки (центр вписанной окружности, центр описанной окружности, точка пересечения медиан, точка пересечения высот) совпадают, точка $O$ является также и точкой пересечения медиан (центроидом) треугольника.

По свойству медиан треугольника, они пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении $2:1$, считая от вершины. Для медианы $AM$ это означает, что точка $O$ делит ее так, что выполняется соотношение: $AO : OM = 2 : 1$.

Мы уже определили, что $AO$ — это радиус описанной окружности $R$, а $OM$ — это радиус вписанной окружности $r$. Подставив эти значения в полученную пропорцию, имеем: $R : r = 2 : 1$.

Из этого соотношения непосредственно следует равенство $R = 2r$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. В правильном треугольнике радиус описанной окружности $R$ действительно в два раза больше радиуса вписанной окружности $r$, то есть выполняется равенство $R = 2r$.

1183 Найдите площадь S правильного n-угольника, если: а) n = 4, R = 32 см; б) n = 3, Р = 24 см; в) n = 6, r = 9 см; г) n = 8, r = 53 см.

а)

Дан правильный четырехугольник (квадрат), у которого число сторон $n=4$, а радиус описанной окружности $R = 3\sqrt{2}$ см.

Для нахождения площади $S$ правильного n-угольника можно воспользоваться формулой, выражающей площадь через радиус описанной окружности $R$:

$S = \frac{1}{2} n R^2 \sin\left(\frac{360^\circ}{n}\right)$

Подставим в эту формулу известные значения $n=4$ и $R=3\sqrt{2}$:

$S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot (3\sqrt{2})^2 \cdot \sin\left(\frac{360^\circ}{4}\right)$

Проведем вычисления:

$S = 2 \cdot (9 \cdot 2) \cdot \sin(90^\circ) = 2 \cdot 18 \cdot 1 = 36$ см$^2$.

Ответ: $36$ см$^2$.

б)

Дан правильный треугольник, у которого число сторон $n=3$, а периметр $P=24$ см.

В первую очередь найдем длину стороны треугольника $a_3$. Для этого разделим периметр на число сторон:

$a_3 = \frac{P}{n} = \frac{24}{3} = 8$ см.

Площадь правильного треугольника (равностороннего) со стороной $a$ вычисляется по известной формуле:

$S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

Подставим в формулу найденное значение стороны $a_3 = 8$ см:

$S = \frac{8^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{64\sqrt{3}}{4} = 16\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $16\sqrt{3}$ см$^2$.

в)

Дан правильный шестиугольник, у которого число сторон $n=6$, а радиус вписанной окружности $r=9$ см.

Площадь $S$ правильного n-угольника можно вычислить по формуле через радиус вписанной окружности $r$:

$S = n r^2 \tan\left(\frac{180^\circ}{n}\right)$

Подставим в формулу заданные значения $n=6$ и $r=9$:

$S = 6 \cdot 9^2 \cdot \tan\left(\frac{180^\circ}{6}\right) = 6 \cdot 81 \cdot \tan(30^\circ)$

Мы знаем, что $\tan(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ или $\frac{1}{\sqrt{3}}$. Используем это значение:

$S = 486 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{486}{\sqrt{3}} = \frac{486\sqrt{3}}{3} = 162\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $162\sqrt{3}$ см$^2$.

г)

Дан правильный восьмиугольник, у которого число сторон $n=8$, а радиус вписанной окружности $r=5\sqrt{3}$ см.

Воспользуемся той же формулой, что и в предыдущем пункте:

$S = n r^2 \tan\left(\frac{180^\circ}{n}\right)$

Подставим значения $n=8$ и $r=5\sqrt{3}$:

$S = 8 \cdot (5\sqrt{3})^2 \cdot \tan\left(\frac{180^\circ}{8}\right) = 8 \cdot (25 \cdot 3) \cdot \tan(22.5^\circ) = 8 \cdot 75 \cdot \tan(22.5^\circ) = 600 \tan(22.5^\circ)$

Чтобы продолжить, найдем значение $\tan(22.5^\circ)$. Для этого можно использовать формулу тангенса половинного угла: $\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}$. Положим $\alpha = 45^\circ$:

$\tan(22.5^\circ) = \tan\left(\frac{45^\circ}{2}\right) = \frac{1-\cos(45^\circ)}{\sin(45^\circ)} = \frac{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\frac{2-\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}-2}{2} = \sqrt{2}-1$.

Теперь подставим полученное значение тангенса в выражение для площади:

$S = 600(\sqrt{2}-1)$ см$^2$.

Ответ: $600(\sqrt{2}-1)$ см$^2$.

1184 Расстояние между параллельными гранями шестигранной головки болта, основание которого имеет форму правильного шестиугольника, равно 1,5 см. Найдите площадь основания.

Основание головки болта имеет форму правильного шестиугольника. Расстояние между параллельными гранями (сторонами) правильного шестиугольника, обозначим его $d$, связано с длиной его стороны $a$. Правильный шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников со стороной $a$. Расстояние $d$ равно удвоенной высоте одного такого треугольника. Высота равностороннего треугольника со стороной $a$ равна $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Следовательно, $d = 2 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3}$.

Площадь правильного шестиугольника $S$ можно вычислить как сумму площадей шести равносторонних треугольников. Площадь одного такого треугольника равна $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$, значит, площадь шестиугольника:$S = 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$.

Мы можем выразить площадь шестиугольника через известное расстояние $d$. Из формулы $d = a\sqrt{3}$ выразим сторону $a$: $a = \frac{d}{\sqrt{3}}$.

Теперь подставим это выражение для $a$ в формулу площади:$S = \frac{3\sqrt{3}}{2} \left(\frac{d}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{d^2}{3} = \frac{d^2\sqrt{3}}{2}$.

По условию задачи $d = 1,5$ см. Подставим это значение в полученную формулу для площади:$S = \frac{(1,5)^2 \sqrt{3}}{2} = \frac{2,25\sqrt{3}}{2}$.

Для получения ответа в виде обыкновенной дроби, представим $2,25$ как $\frac{9}{4}$:$S = \frac{\frac{9}{4} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{9\sqrt{3}}{4 \cdot 2} = \frac{9\sqrt{3}}{8}$ см².

Ответ: $\frac{9\sqrt{3}}{8}$ см².

1185 Стороны правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника равны друг другу. Найдите отношения площадей этих многоугольников.

Пусть сторона правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника равна $a$. Найдем площади каждой из фигур.

Площадь правильного треугольника

Площадь правильного (равностороннего) треугольника ($S_3$) со стороной $a$ вычисляется по формуле: $S_3 = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Площадь квадрата

Площадь квадрата ($S_4$) со стороной $a$ вычисляется по формуле: $S_4 = a^2$

Площадь правильного шестиугольника

Правильный шестиугольник можно разбить на 6 равносторонних треугольников со стороной $a$. Поэтому его площадь ($S_6$) равна шести площадям такого треугольника: $S_6 = 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$

Нахождение отношения площадей

Теперь найдем отношение площадей $S_3 : S_4 : S_6$: $S_3 : S_4 : S_6 = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} : a^2 : \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$

Сократим все части отношения на общий множитель $a^2$: $\frac{\sqrt{3}}{4} : 1 : \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Чтобы избавиться от дробных выражений, умножим все части отношения на наименьшее общее кратное знаменателей (4 и 2), то есть на 4: $(\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 4) : (1 \cdot 4) : (\frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 4)$

В результате получаем упрощенное отношение: $\sqrt{3} : 4 : 6\sqrt{3}$

Ответ: $\sqrt{3} : 4 : 6\sqrt{3}$.

1186 Найдите отношение площадей двух правильных шестиугольников — вписанного в окружность и описанного около неё.

Пусть радиус данной окружности равен $R$. Мы найдем площади вписанного и описанного правильных шестиугольников, выразив их через $R$, а затем найдем их отношение.

Сначала рассмотрим правильный шестиугольник, вписанный в окружность. Для правильного шестиугольника, вписанного в окружность, радиус этой окружности $R$ равен стороне шестиугольника $a_{вп}$. Таким образом, $a_{вп} = R$.

Площадь правильного шестиугольника вычисляется по формуле $S = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$, где $a$ — длина его стороны. Подставив $a_{вп} = R$, получим площадь вписанного шестиугольника $S_{вп}$: $S_{вп} = \frac{3R^2\sqrt{3}}{2}$.

Теперь рассмотрим правильный шестиугольник, описанный около той же окружности. Для такого шестиугольника радиус окружности $R$ является его апофемой (расстоянием от центра до середины стороны). Обозначим сторону описанного шестиугольника как $a_{оп}$. Правильный шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников. Высота (которая также является апофемой шестиугольника) такого треугольника связана с его стороной $a_{оп}$ соотношением $h = \frac{a_{оп}\sqrt{3}}{2}$.

В нашем случае $h = R$, поэтому мы можем написать: $R = \frac{a_{оп}\sqrt{3}}{2}$.

Выразим сторону описанного шестиугольника $a_{оп}$ через радиус $R$: $a_{оп} = \frac{2R}{\sqrt{3}}$.

Теперь найдем площадь описанного шестиугольника $S_{оп}$, используя ту же формулу для площади: $S_{оп} = \frac{3a_{оп}^2\sqrt{3}}{2} = \frac{3 \left(\frac{2R}{\sqrt{3}}\right)^2 \sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot \frac{4R^2}{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{4R^2\sqrt{3}}{2} = 2R^2\sqrt{3}$.

Наконец, найдем отношение площади вписанного шестиугольника к площади описанного, как того требует условие задачи: $\frac{S_{вп}}{S_{оп}} = \frac{\frac{3R^2\sqrt{3}}{2}}{2R^2\sqrt{3}}$.

Упростим это выражение: $\frac{S_{вп}}{S_{оп}} = \frac{3R^2\sqrt{3}}{2 \cdot 2R^2\sqrt{3}} = \frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{3}{4}$

1187 Выразите сторону, периметр и площадь правильного треугольника: а) через радиус вписанной окружности; б) через радиус описанной окружности.

Пусть $a$ — сторона правильного треугольника, $P$ — его периметр, $S$ — его площадь, $r$ — радиус вписанной окружности, $R$ — радиус описанной окружности.

В правильном треугольнике высота $h$ связана со стороной $a$ формулой $h = a \sin(60^\circ) = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Радиус вписанной окружности $r$ равен трети высоты, то есть $r = \frac{1}{3}h = \frac{a\sqrt{3}}{6}$. Радиус описанной окружности $R$ равен двум третям высоты, то есть $R = \frac{2}{3}h = \frac{a\sqrt{3}}{3}$. Из этих соотношений также следует, что $R=2r$.

а) через радиус вписанной окружности

Сторона ($a$)
Из формулы $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$ выразим сторону $a$:
$a = \frac{6r}{\sqrt{3}} = \frac{6r\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2} = \frac{6\sqrt{3}r}{3} = 2\sqrt{3}r$.

Периметр ($P$)
Периметр правильного треугольника равен $P = 3a$. Подставим найденное выражение для $a$:
$P = 3 \cdot (2\sqrt{3}r) = 6\sqrt{3}r$.

Площадь ($S$)
Площадь правильного треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Подставим выражение для $a$:
$S = \frac{(2\sqrt{3}r)^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(4 \cdot 3 \cdot r^2)\sqrt{3}}{4} = \frac{12r^2\sqrt{3}}{4} = 3\sqrt{3}r^2$.

Ответ: сторона $a = 2\sqrt{3}r$, периметр $P = 6\sqrt{3}r$, площадь $S = 3\sqrt{3}r^2$.

б) через радиус описанной окружности

Сторона ($a$)
Из формулы $R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$ выразим сторону $a$:
$a = \frac{3R}{\sqrt{3}} = \frac{3R\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2} = \frac{3\sqrt{3}R}{3} = \sqrt{3}R$.

Периметр ($P$)
Периметр $P = 3a$. Подставим найденное выражение для $a$:
$P = 3 \cdot (\sqrt{3}R) = 3\sqrt{3}R$.

Площадь ($S$)
Площадь $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Подставим выражение для $a$:
$S = \frac{(\sqrt{3}R)^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(3R^2)\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{4}R^2$.

Ответ: сторона $a = \sqrt{3}R$, периметр $P = 3\sqrt{3}R$, площадь $S = \frac{3\sqrt{3}}{4}R^2$.