Номер 1181, страница 301 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Правильные многоугольники. 117. Построение правильных многоугольников. Глава 13. Длина окружности и площадь круга - номер 1181, страница 301.

1181 Около окружности описаны квадрат и правильный шестиугольник. Найдите периметр квадрата, если периметр шестиугольника равен 48 см.

Пусть $r$ — это радиус окружности. Так как и квадрат, и правильный шестиугольник описаны около этой окружности, то эта окружность является вписанной для обоих многоугольников. Радиус вписанной окружности одинаков для обеих фигур.

1. Найдем радиус вписанной окружности, используя данные о правильном шестиугольнике. Периметр правильного шестиугольника, $P_6$, равен 48 см. Периметр связан с длиной стороны $a_6$ формулой $P_6 = 6 \cdot a_6$. Выразим сторону шестиугольника: $a_6 = \frac{P_6}{6} = \frac{48}{6} = 8$ см.

Радиус $r$ окружности, вписанной в правильный шестиугольник, определяется по формуле: $r = \frac{a_6 \sqrt{3}}{2}$.

Подставим значение стороны $a_6$: $r = \frac{8 \sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.

2. Теперь найдем периметр квадрата, используя найденный радиус. Для квадрата, описанного около окружности, его сторона $a_4$ равна диаметру вписанной окружности, то есть $a_4 = 2r$.

Найдем сторону квадрата: $a_4 = 2 \cdot 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$ см.

Периметр квадрата $P_4$ вычисляется по формуле $P_4 = 4 \cdot a_4$. $P_4 = 4 \cdot 8\sqrt{3} = 32\sqrt{3}$ см.

Ответ: $32\sqrt{3}$ см.