Номер 1185, страница 301 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 13. Длина окружности и площадь круга. Параграф 1. Правильные многоугольники. 117. Построение правильных многоугольников - номер 1185, страница 301.

Условие.

1185 Стороны правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника равны друг другу. Найдите отношения площадей этих многоугольников.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 11.

Пусть сторона правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника равна $a$. Найдем площади каждой из фигур.

Площадь правильного треугольника

Площадь правильного (равностороннего) треугольника ($S_3$) со стороной $a$ вычисляется по формуле: $S_3 = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Площадь квадрата

Площадь квадрата ($S_4$) со стороной $a$ вычисляется по формуле: $S_4 = a^2$

Площадь правильного шестиугольника

Правильный шестиугольник можно разбить на 6 равносторонних треугольников со стороной $a$. Поэтому его площадь ($S_6$) равна шести площадям такого треугольника: $S_6 = 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$

Нахождение отношения площадей

Теперь найдем отношение площадей $S_3 : S_4 : S_6$: $S_3 : S_4 : S_6 = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} : a^2 : \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$

Сократим все части отношения на общий множитель $a^2$: $\frac{\sqrt{3}}{4} : 1 : \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Чтобы избавиться от дробных выражений, умножим все части отношения на наименьшее общее кратное знаменателей (4 и 2), то есть на 4: $(\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 4) : (1 \cdot 4) : (\frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 4)$

В результате получаем упрощенное отношение: $\sqrt{3} : 4 : 6\sqrt{3}$

Ответ: $\sqrt{3} : 4 : 6\sqrt{3}$.