Номер 1186, страница 301 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Правильные многоугольники. 117. Построение правильных многоугольников. Глава 13. Длина окружности и площадь круга - номер 1186, страница 301.

1186 Найдите отношение площадей двух правильных шестиугольников — вписанного в окружность и описанного около неё.

Пусть радиус данной окружности равен $R$. Мы найдем площади вписанного и описанного правильных шестиугольников, выразив их через $R$, а затем найдем их отношение.

Сначала рассмотрим правильный шестиугольник, вписанный в окружность. Для правильного шестиугольника, вписанного в окружность, радиус этой окружности $R$ равен стороне шестиугольника $a_{вп}$. Таким образом, $a_{вп} = R$.

Площадь правильного шестиугольника вычисляется по формуле $S = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$, где $a$ — длина его стороны. Подставив $a_{вп} = R$, получим площадь вписанного шестиугольника $S_{вп}$: $S_{вп} = \frac{3R^2\sqrt{3}}{2}$.

Теперь рассмотрим правильный шестиугольник, описанный около той же окружности. Для такого шестиугольника радиус окружности $R$ является его апофемой (расстоянием от центра до середины стороны). Обозначим сторону описанного шестиугольника как $a_{оп}$. Правильный шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников. Высота (которая также является апофемой шестиугольника) такого треугольника связана с его стороной $a_{оп}$ соотношением $h = \frac{a_{оп}\sqrt{3}}{2}$.

В нашем случае $h = R$, поэтому мы можем написать: $R = \frac{a_{оп}\sqrt{3}}{2}$.

Выразим сторону описанного шестиугольника $a_{оп}$ через радиус $R$: $a_{оп} = \frac{2R}{\sqrt{3}}$.

Теперь найдем площадь описанного шестиугольника $S_{оп}$, используя ту же формулу для площади: $S_{оп} = \frac{3a_{оп}^2\sqrt{3}}{2} = \frac{3 \left(\frac{2R}{\sqrt{3}}\right)^2 \sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot \frac{4R^2}{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{4R^2\sqrt{3}}{2} = 2R^2\sqrt{3}$.

Наконец, найдем отношение площади вписанного шестиугольника к площади описанного, как того требует условие задачи: $\frac{S_{вп}}{S_{оп}} = \frac{\frac{3R^2\sqrt{3}}{2}}{2R^2\sqrt{3}}$.

Упростим это выражение: $\frac{S_{вп}}{S_{оп}} = \frac{3R^2\sqrt{3}}{2 \cdot 2R^2\sqrt{3}} = \frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{3}{4}$