Номер 1182, страница 301 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 13. Длина окружности и площадь круга. Параграф 1. Правильные многоугольники. 117. Построение правильных многоугольников - номер 1182, страница 301.

Условие.

1182 Около правильного треугольника описана окружность радиуса R. Докажите, что R = 2r, где r — радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 11.

Рассмотрим правильный (равносторонний) треугольник. В правильном треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают. Обозначим этот общий центр точкой $O$.

Радиус описанной окружности $R$ — это расстояние от центра $O$ до любой из вершин треугольника. Таким образом, $R$ равен длине отрезка, соединяющего центр с вершиной, например, $OA$.

Радиус вписанной окружности $r$ — это расстояние от центра $O$ до любой из сторон треугольника. Проведем из вершины $A$ высоту $AM$ к стороне $BC$. Поскольку треугольник является правильным, его высота $AM$ одновременно является и медианой, и биссектрисой. Центр $O$ лежит на отрезке $AM$. Расстояние от центра $O$ до стороны $BC$ равно длине перпендикуляра $OM$. Таким образом, $r = OM$.

Так как в правильном треугольнике все замечательные точки (центр вписанной окружности, центр описанной окружности, точка пересечения медиан, точка пересечения высот) совпадают, точка $O$ является также и точкой пересечения медиан (центроидом) треугольника.

По свойству медиан треугольника, они пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении $2:1$, считая от вершины. Для медианы $AM$ это означает, что точка $O$ делит ее так, что выполняется соотношение: $AO : OM = 2 : 1$.

Мы уже определили, что $AO$ — это радиус описанной окружности $R$, а $OM$ — это радиус вписанной окружности $r$. Подставив эти значения в полученную пропорцию, имеем: $R : r = 2 : 1$.

Из этого соотношения непосредственно следует равенство $R = 2r$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. В правильном треугольнике радиус описанной окружности $R$ действительно в два раза больше радиуса вписанной окружности $r$, то есть выполняется равенство $R = 2r$.