Номер 1178, страница 301 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Правильные многоугольники. 117. Построение правильных многоугольников. Глава 13. Длина окружности и площадь круга - номер 1178, страница 301.

1178 Периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, равен 18 см. Найдите сторону квадрата, вписанного в ту же окружность.

Для решения этой задачи необходимо сначала найти радиус окружности, используя данные о вписанном правильном треугольнике, а затем с помощью этого радиуса вычислить сторону квадрата, вписанного в ту же окружность.

1. Нахождение стороны правильного треугольника
Периметр правильного (равностороннего) треугольника ($P_3$) вычисляется по формуле $P_3 = 3 \cdot a_3$, где $a_3$ — длина его стороны. По условию задачи, $P_3 = 18$ см. Отсюда мы можем найти сторону треугольника:
$a_3 = \frac{P_3}{3} = \frac{18}{3} = 6$ см.

2. Нахождение радиуса описанной окружности
Сторона правильного треугольника ($a_3$) связана с радиусом описанной около него окружности ($R$) соотношением:
$a_3 = R\sqrt{3}$
Выразим радиус $R$ из этой формулы, подставив известное значение $a_3$:
$R = \frac{a_3}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}}$
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:
$R = \frac{6 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.

3. Нахождение стороны вписанного квадрата
Теперь, когда мы знаем радиус окружности, мы можем найти сторону квадрата ($a_4$), вписанного в эту же окружность. Сторона вписанного квадрата связана с радиусом окружности ($R$) формулой:
$a_4 = R\sqrt{2}$
Подставим найденное значение $R = 2\sqrt{3}$ см:
$a_4 = (2\sqrt{3}) \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{3 \cdot 2} = 2\sqrt{6}$ см.

Ответ: $2\sqrt{6}$ см.