Номер 1176, страница 300 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 13. Длина окружности и площадь круга. Параграф 1. Правильные многоугольники. 117. Построение правильных многоугольников - номер 1176, страница 300.

Условие.

1176 На рисунке 347, а изображён квадрат, вписанный в окружность радиуса R. Перечертите таблицу в тетрадь и заполните пустые клетки (а₄ — сторона квадрата, Р — периметр квадрата, S — его площадь, r — радиус вписанной окружности).

N	R	r	a₄	P	S
1			6
2		2
3	4
4				28
5					16

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 11.

В условии задачи требуется заполнить таблицу, которая не приведена. Поэтому для решения задачи мы выведем общие формулы, связывающие радиус описанной окружности ($R$), радиус вписанной окружности ($r$), сторону многоугольника ($a_n$), его периметр ($P$) и площадь ($S$) для каждого случая.

a)

Рассмотрим квадрат, вписанный в окружность радиуса $R$ (рис. 347, a). Обозначим его сторону $a_4$, периметр $P$, площадь $S$ и радиус вписанной в него окружности $r$.

1. Связь между стороной квадрата $a_4$ и радиусом описанной окружности $R$.
Диагональ квадрата $d$ является диаметром описанной окружности, следовательно, $d = 2R$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного двумя сторонами и диагональю квадрата, имеем: $d^2 = a_4^2 + a_4^2 = 2a_4^2$. Отсюда $d = a_4\sqrt{2}$. Приравнивая два выражения для диагонали, получаем: $2R = a_4\sqrt{2}$. Из этого соотношения выражаем сторону квадрата через радиус описанной окружности: $a_4 = \frac{2R}{\sqrt{2}} = R\sqrt{2}$. И наоборот, радиус описанной окружности через сторону квадрата: $R = \frac{a_4\sqrt{2}}{2}$.

2. Связь между стороной квадрата $a_4$ и радиусом вписанной окружности $r$.
Вписанная окружность касается всех сторон квадрата. Её диаметр равен стороне квадрата: $2r = a_4$. Следовательно, $r = \frac{a_4}{2}$.

3. Периметр $P$ и площадь $S$ квадрата.
Периметр квадрата вычисляется по формуле $P = 4a_4$. Площадь квадрата вычисляется по формуле $S = a_4^2$.

Используя выведенные формулы, можно выразить все величины через любую другую. Например, найдем связь между $R$ и $r$: Так как $a_4 = R\sqrt{2}$ и $a_4 = 2r$, то $R\sqrt{2} = 2r$, откуда $R = \frac{2r}{\sqrt{2}} = r\sqrt{2}$.

Ответ:
Основные формулы для квадрата:
- Если известен радиус описанной окружности $R$: $a_4 = R\sqrt{2}$, $r = \frac{R\sqrt{2}}{2}$, $P = 4R\sqrt{2}$, $S = 2R^2$.
- Если известен радиус вписанной окружности $r$: $a_4 = 2r$, $R = r\sqrt{2}$, $P = 8r$, $S = 4r^2$.
- Если известна сторона $a_4$: $R = \frac{a_4\sqrt{2}}{2}$, $r = \frac{a_4}{2}$, $P = 4a_4$, $S = a_4^2$.
- Если известен периметр $P$: $a_4 = \frac{P}{4}$, $R = \frac{P\sqrt{2}}{8}$, $r = \frac{P}{8}$, $S = \frac{P^2}{16}$.
- Если известна площадь $S$: $a_4 = \sqrt{S}$, $R = \frac{\sqrt{2S}}{2}$, $r = \frac{\sqrt{S}}{2}$, $P = 4\sqrt{S}$.

б)

Хотя в тексте задания упоминается только квадрат, на рисунке 347, б) изображен правильный (равносторонний) треугольник, вписанный в окружность. Решим аналогичную задачу и для него.

Обозначим сторону треугольника $a_3$, радиус описанной окружности $R$, радиус вписанной окружности $r$, периметр $P$ и площадь $S$.

1. Связь между стороной $a_3$ и радиусом описанной окружности $R$.
В правильном треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают и находятся в точке пересечения высот, медиан и биссектрис. Эта точка делит высоту $h$ в отношении 2:1, считая от вершины. Радиус описанной окружности равен $R = \frac{2}{3}h$. Высота правильного треугольника со стороной $a_3$ равна $h = \frac{a_3\sqrt{3}}{2}$. Подставляем выражение для высоты: $R = \frac{2}{3} \cdot \frac{a_3\sqrt{3}}{2} = \frac{a_3\sqrt{3}}{3}$. Отсюда выражаем сторону: $a_3 = \frac{3R}{\sqrt{3}} = R\sqrt{3}$.

2. Связь между стороной $a_3$ и радиусом вписанной окружности $r$.
Радиус вписанной окружности равен $r = \frac{1}{3}h$. Подставляем выражение для высоты: $r = \frac{1}{3} \cdot \frac{a_3\sqrt{3}}{2} = \frac{a_3\sqrt{3}}{6}$. Отсюда выражаем сторону: $a_3 = \frac{6r}{\sqrt{3}} = 2r\sqrt{3}$. Из соотношений $R = \frac{2}{3}h$ и $r = \frac{1}{3}h$ также следует, что $R = 2r$.

3. Периметр $P$ и площадь $S$ правильного треугольника.
Периметр: $P = 3a_3$. Площадь: $S = \frac{1}{2}a_3 h = \frac{1}{2}a_3 \cdot \frac{a_3\sqrt{3}}{2} = \frac{a_3^2\sqrt{3}}{4}$.

Ответ:
Основные формулы для правильного треугольника:
- Если известен радиус описанной окружности $R$: $a_3 = R\sqrt{3}$, $r = \frac{R}{2}$, $P = 3R\sqrt{3}$, $S = \frac{3R^2\sqrt{3}}{4}$.
- Если известен радиус вписанной окружности $r$: $a_3 = 2r\sqrt{3}$, $R = 2r$, $P = 6r\sqrt{3}$, $S = 3r^2\sqrt{3}$.
- Если известна сторона $a_3$: $R = \frac{a_3\sqrt{3}}{3}$, $r = \frac{a_3\sqrt{3}}{6}$, $P = 3a_3$, $S = \frac{a_3^2\sqrt{3}}{4}$.