Номер 1175, страница 300 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Правильные многоугольники. 117. Построение правильных многоугольников. Глава 13. Длина окружности и площадь круга - номер 1175, страница 300.

1175 Докажите, что прямые, содержащие биссектрисы любых двух углов правильного многоугольника, либо пересекаются, либо совпадают.

Рассмотрим правильный $n$-угольник $A_1A_2...A_n$ с центром в точке $O$. Центр правильного многоугольника является центром его описанной окружности, поэтому он равноудален от всех вершин: $OA_1 = OA_2 = ... = OA_n$.

Сначала докажем, что биссектриса любого внутреннего угла правильного многоугольника проходит через его центр $O$.

Возьмем произвольную вершину, например $A_k$, и соответствующий ей угол $\angle A_{k-1}A_kA_{k+1}$. Рассмотрим два треугольника: $\triangle OA_{k-1}A_k$ и $\triangle OA_kA_{k+1}$.В этих треугольниках:
1. Стороны $OA_{k-1}$ и $OA_k$ в $\triangle OA_{k-1}A_k$ равны сторонам $OA_k$ и $OA_{k+1}$ в $\triangle OA_kA_{k+1}$, так как все они являются радиусами описанной окружности.
2. Сторона $A_{k-1}A_k$ равна стороне $A_kA_{k+1}$, так как все стороны правильного многоугольника равны.

Следовательно, треугольники $\triangle OA_{k-1}A_k$ и $\triangle OA_kA_{k+1}$ равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов, а именно $\angle OA_kA_{k-1} = \angle OA_kA_{k+1}$.Это равенство означает, что луч $OA_k$ делит угол $\angle A_{k-1}A_kA_{k+1}$ пополам, то есть является его биссектрисой.

Поскольку вершина $A_k$ была выбрана произвольно, мы можем заключить, что любая прямая, содержащая биссектрису угла правильного многоугольника, проходит через его центр $O$.

Теперь рассмотрим две любые прямые, содержащие биссектрисы двух углов данного многоугольника. Так как мы доказали, что каждая из этих прямых проходит через центр многоугольника $O$, то обе прямые имеют как минимум одну общую точку.

На плоскости две прямые, имеющие общую точку, могут либо пересекаться в этой точке (если они различны), либо совпадать (если они неразличимы). Вариант, когда прямые параллельны и не пересекаются, исключен.
Таким образом, прямые, содержащие биссектрисы любых двух углов правильного многоугольника, либо пересекаются (в центре многоугольника $O$), либо совпадают. Совпадение происходит в случае, когда биссектрисы проведены из диаметрально противоположных вершин (это возможно для многоугольников с четным числом сторон).
Что и требовалось доказать.

Ответ:
Поскольку все биссектрисы углов правильного многоугольника проходят через его центр, то любые две прямые, содержащие эти биссектрисы, имеют общую точку — центр многоугольника. Две прямые на плоскости, имеющие общую точку, либо пересекаются, либо совпадают. Следовательно, и прямые, содержащие биссектрисы, либо пересекаются, либо совпадают.