Номер 1175, страница 300 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 13. Длина окружности и площадь круга. Параграф 1. Правильные многоугольники. 117. Построение правильных многоугольников - номер 1175, страница 300.

Условие.

1175 Докажите, что прямые, содержащие биссектрисы любых двух углов правильного многоугольника, либо пересекаются, либо совпадают.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 11.

Рассмотрим правильный $n$-угольник $A_1A_2...A_n$ с центром в точке $O$. Центр правильного многоугольника является центром его описанной окружности, поэтому он равноудален от всех вершин: $OA_1 = OA_2 = ... = OA_n$.

Сначала докажем, что биссектриса любого внутреннего угла правильного многоугольника проходит через его центр $O$.

Возьмем произвольную вершину, например $A_k$, и соответствующий ей угол $\angle A_{k-1}A_kA_{k+1}$. Рассмотрим два треугольника: $\triangle OA_{k-1}A_k$ и $\triangle OA_kA_{k+1}$.В этих треугольниках:
1. Стороны $OA_{k-1}$ и $OA_k$ в $\triangle OA_{k-1}A_k$ равны сторонам $OA_k$ и $OA_{k+1}$ в $\triangle OA_kA_{k+1}$, так как все они являются радиусами описанной окружности.
2. Сторона $A_{k-1}A_k$ равна стороне $A_kA_{k+1}$, так как все стороны правильного многоугольника равны.

Следовательно, треугольники $\triangle OA_{k-1}A_k$ и $\triangle OA_kA_{k+1}$ равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов, а именно $\angle OA_kA_{k-1} = \angle OA_kA_{k+1}$.Это равенство означает, что луч $OA_k$ делит угол $\angle A_{k-1}A_kA_{k+1}$ пополам, то есть является его биссектрисой.

Поскольку вершина $A_k$ была выбрана произвольно, мы можем заключить, что любая прямая, содержащая биссектрису угла правильного многоугольника, проходит через его центр $O$.

Теперь рассмотрим две любые прямые, содержащие биссектрисы двух углов данного многоугольника. Так как мы доказали, что каждая из этих прямых проходит через центр многоугольника $O$, то обе прямые имеют как минимум одну общую точку.

На плоскости две прямые, имеющие общую точку, могут либо пересекаться в этой точке (если они различны), либо совпадать (если они неразличимы). Вариант, когда прямые параллельны и не пересекаются, исключен.
Таким образом, прямые, содержащие биссектрисы любых двух углов правильного многоугольника, либо пересекаются (в центре многоугольника $O$), либо совпадают. Совпадение происходит в случае, когда биссектрисы проведены из диаметрально противоположных вершин (это возможно для многоугольников с четным числом сторон).
Что и требовалось доказать.

Ответ:
Поскольку все биссектрисы углов правильного многоугольника проходят через его центр, то любые две прямые, содержащие эти биссектрисы, имеют общую точку — центр многоугольника. Две прямые на плоскости, имеющие общую точку, либо пересекаются, либо совпадают. Следовательно, и прямые, содержащие биссектрисы, либо пересекаются, либо совпадают.