Номер 1183, страница 301 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Правильные многоугольники. 117. Построение правильных многоугольников. Глава 13. Длина окружности и площадь круга - номер 1183, страница 301.

1183 Найдите площадь S правильного n-угольника, если: а) n = 4, R = 32 см; б) n = 3, Р = 24 см; в) n = 6, r = 9 см; г) n = 8, r = 53 см.

а)

Дан правильный четырехугольник (квадрат), у которого число сторон $n=4$, а радиус описанной окружности $R = 3\sqrt{2}$ см.

Для нахождения площади $S$ правильного n-угольника можно воспользоваться формулой, выражающей площадь через радиус описанной окружности $R$:

$S = \frac{1}{2} n R^2 \sin\left(\frac{360^\circ}{n}\right)$

Подставим в эту формулу известные значения $n=4$ и $R=3\sqrt{2}$:

$S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot (3\sqrt{2})^2 \cdot \sin\left(\frac{360^\circ}{4}\right)$

Проведем вычисления:

$S = 2 \cdot (9 \cdot 2) \cdot \sin(90^\circ) = 2 \cdot 18 \cdot 1 = 36$ см$^2$.

Ответ: $36$ см$^2$.

б)

Дан правильный треугольник, у которого число сторон $n=3$, а периметр $P=24$ см.

В первую очередь найдем длину стороны треугольника $a_3$. Для этого разделим периметр на число сторон:

$a_3 = \frac{P}{n} = \frac{24}{3} = 8$ см.

Площадь правильного треугольника (равностороннего) со стороной $a$ вычисляется по известной формуле:

$S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

Подставим в формулу найденное значение стороны $a_3 = 8$ см:

$S = \frac{8^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{64\sqrt{3}}{4} = 16\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $16\sqrt{3}$ см$^2$.

в)

Дан правильный шестиугольник, у которого число сторон $n=6$, а радиус вписанной окружности $r=9$ см.

Площадь $S$ правильного n-угольника можно вычислить по формуле через радиус вписанной окружности $r$:

$S = n r^2 \tan\left(\frac{180^\circ}{n}\right)$

Подставим в формулу заданные значения $n=6$ и $r=9$:

$S = 6 \cdot 9^2 \cdot \tan\left(\frac{180^\circ}{6}\right) = 6 \cdot 81 \cdot \tan(30^\circ)$

Мы знаем, что $\tan(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ или $\frac{1}{\sqrt{3}}$. Используем это значение:

$S = 486 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{486}{\sqrt{3}} = \frac{486\sqrt{3}}{3} = 162\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $162\sqrt{3}$ см$^2$.

г)

Дан правильный восьмиугольник, у которого число сторон $n=8$, а радиус вписанной окружности $r=5\sqrt{3}$ см.

Воспользуемся той же формулой, что и в предыдущем пункте:

$S = n r^2 \tan\left(\frac{180^\circ}{n}\right)$

Подставим значения $n=8$ и $r=5\sqrt{3}$:

$S = 8 \cdot (5\sqrt{3})^2 \cdot \tan\left(\frac{180^\circ}{8}\right) = 8 \cdot (25 \cdot 3) \cdot \tan(22.5^\circ) = 8 \cdot 75 \cdot \tan(22.5^\circ) = 600 \tan(22.5^\circ)$

Чтобы продолжить, найдем значение $\tan(22.5^\circ)$. Для этого можно использовать формулу тангенса половинного угла: $\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}$. Положим $\alpha = 45^\circ$:

$\tan(22.5^\circ) = \tan\left(\frac{45^\circ}{2}\right) = \frac{1-\cos(45^\circ)}{\sin(45^\circ)} = \frac{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\frac{2-\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}-2}{2} = \sqrt{2}-1$.

Теперь подставим полученное значение тангенса в выражение для площади:

$S = 600(\sqrt{2}-1)$ см$^2$.

Ответ: $600(\sqrt{2}-1)$ см$^2$.