Страница 307 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

1190 Перечертите таблицу и, используя формулу длины С окружности радиуса R, заполните пустые клетки таблицы. Воспользуйтесь значением π ≈ 3,14.

Для решения задачи будем использовать формулу длины окружности $C$ через радиус $R$: $C = 2\pi R$. Отсюда можно выразить радиус: $R = \frac{C}{2\pi}$. В расчетах будем использовать приближенное значение $\pi \approx 3,14$.

Расчет для первого столбца (R = 4)
Дано: $R = 4$.
Находим длину окружности $C$:
$C = 2\pi R \approx 2 \times 3,14 \times 4 = 25,12$.
Ответ: $C \approx 25,12$.

Расчет для второго столбца (R = 3)
Дано: $R = 3$.
Находим длину окружности $C$:
$C = 2\pi R \approx 2 \times 3,14 \times 3 = 18,84$.
Ответ: $C \approx 18,84$.

Расчет для третьего столбца (C = 82)
Дано: $C = 82$.
Находим радиус $R$:
$R = \frac{C}{2\pi} \approx \frac{82}{2 \times 3,14} = \frac{82}{6,28} \approx 13,0573...$
Округлим результат до сотых: $R \approx 13,06$.
Ответ: $R \approx 13,06$.

Расчет для четвертого столбца ($C = 18\pi$)
Дано: $C = 18\pi$.
Находим радиус $R$:
$R = \frac{C}{2\pi} = \frac{18\pi}{2\pi} = 9$.
В этом случае приближенное значение $\pi$ не требуется, так как оно сокращается.
Ответ: $R = 9$.

Расчет для пятого столбца (R = 0,7)
Дано: $R = 0,7$.
Находим длину окружности $C$:
$C = 2\pi R \approx 2 \times 3,14 \times 0,7 = 4,396$.
Ответ: $C \approx 4,396$.

Расчет для шестого столбца (C = 6,28)
Дано: $C = 6,28$.
Находим радиус $R$:
$R = \frac{C}{2\pi} \approx \frac{6,28}{2 \times 3,14} = \frac{6,28}{6,28} = 1$.
Ответ: $R = 1$.

Расчет для седьмого столбца (R = 101,5)
Дано: $R = 101,5$.
Находим длину окружности $C$:
$C = 2\pi R \approx 2 \times 3,14 \times 101,5 = 637,42$.
Ответ: $C \approx 637,42$.

Расчет для восьмого столбца ($R = 2\frac{1}{3}$)
Дано: $R = 2\frac{1}{3}$.
Переведем смешанное число в неправильную дробь: $R = \frac{7}{3}$.
Находим длину окружности $C$:
$C = 2\pi R \approx 2 \times 3,14 \times \frac{7}{3} = \frac{43,96}{3} \approx 14,6533...$
Округлим результат до сотых: $C \approx 14,65$.
Ответ: $C \approx 14,65$.

Расчет для девятого столбца ($C = 2\sqrt{2}$)
Дано: $C = 2\sqrt{2}$.
Находим радиус $R$:
$R = \frac{C}{2\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{2\pi} = \frac{\sqrt{2}}{\pi}$.
Подставим приближенные значения $\pi \approx 3,14$ и $\sqrt{2} \approx 1,414$:
$R \approx \frac{1,414}{3,14} \approx 0,4503...$
Округлим результат до сотых: $R \approx 0,45$.
Ответ: $R \approx 0,45$.

Заполненная таблица:

1191 Как изменится длина окружности, если радиус окружности: а) увеличить в 3 раза; б) уменьшить в 2 раза; в) увеличить в k раз; г) уменьшить в k раз?

Длина окружности $C$ вычисляется по формуле $C = 2\pi r$, где $r$ — радиус окружности, а $\pi$ — математическая константа. Из этой формулы видно, что длина окружности находится в прямой пропорциональной зависимости от ее радиуса. Это означает, что во сколько раз изменяется радиус, во столько же раз изменяется и длина окружности. Рассмотрим каждый случай подробно.

а)

Пусть первоначальный радиус окружности равен $r_1$, тогда ее длина $C_1 = 2\pi r_1$.
Согласно условию, радиус увеличили в 3 раза, значит, новый радиус $r_2 = 3r_1$.
Новая длина окружности $C_2$ будет равна: $C_2 = 2\pi r_2 = 2\pi (3r_1) = 3 \cdot (2\pi r_1)$.
Так как $C_1 = 2\pi r_1$, то $C_2 = 3 C_1$.
Следовательно, длина окружности увеличится в 3 раза.
Ответ: Длина окружности увеличится в 3 раза.

б)

Пусть первоначальный радиус окружности равен $r_1$, тогда ее длина $C_1 = 2\pi r_1$.
Согласно условию, радиус уменьшили в 2 раза, значит, новый радиус $r_2 = \frac{r_1}{2}$.
Новая длина окружности $C_2$ будет равна: $C_2 = 2\pi r_2 = 2\pi \left(\frac{r_1}{2}\right) = \frac{2\pi r_1}{2}$.
Так как $C_1 = 2\pi r_1$, то $C_2 = \frac{C_1}{2}$.
Следовательно, длина окружности уменьшится в 2 раза.
Ответ: Длина окружности уменьшится в 2 раза.

в)

Пусть первоначальный радиус окружности равен $r_1$, тогда ее длина $C_1 = 2\pi r_1$.
Согласно условию, радиус увеличили в $k$ раз, значит, новый радиус $r_2 = k \cdot r_1$.
Новая длина окружности $C_2$ будет равна: $C_2 = 2\pi r_2 = 2\pi (k \cdot r_1) = k \cdot (2\pi r_1)$.
Так как $C_1 = 2\pi r_1$, то $C_2 = k \cdot C_1$.
Следовательно, длина окружности увеличится в $k$ раз.
Ответ: Длина окружности увеличится в $k$ раз.

г)

Пусть первоначальный радиус окружности равен $r_1$, тогда ее длина $C_1 = 2\pi r_1$.
Согласно условию, радиус уменьшили в $k$ раз, значит, новый радиус $r_2 = \frac{r_1}{k}$.
Новая длина окружности $C_2$ будет равна: $C_2 = 2\pi r_2 = 2\pi \left(\frac{r_1}{k}\right) = \frac{2\pi r_1}{k}$.
Так как $C_1 = 2\pi r_1$, то $C_2 = \frac{C_1}{k}$.
Следовательно, длина окружности уменьшится в $k$ раз.
Ответ: Длина окружности уменьшится в $k$ раз.

1192 Как изменится радиус окружности, если длину окружности: а) увеличить в k раз; б) уменьшить в k раз?

Для решения этой задачи воспользуемся формулой длины окружности: $C = 2\pi R$, где $C$ — это длина окружности, а $R$ — ее радиус.

Из этой формулы можно выразить радиус окружности: $R = \frac{C}{2\pi}$.

Эта зависимость показывает, что радиус окружности ($R$) прямо пропорционален ее длине ($C$), поскольку $2\pi$ является постоянным коэффициентом. Это означает, что во сколько раз изменяется длина окружности, во столько же раз изменяется и ее радиус.

а) увеличить в k раз

Пусть первоначальная длина окружности была $C_1$, а ее радиус — $R_1$. Тогда $R_1 = \frac{C_1}{2\pi}$. Если длину окружности увеличить в $k$ раз, то новая длина $C_2$ станет равна $C_2 = k \cdot C_1$. Тогда новый радиус $R_2$ будет равен: $R_2 = \frac{C_2}{2\pi} = \frac{k \cdot C_1}{2\pi} = k \cdot \left(\frac{C_1}{2\pi}\right)$. Поскольку $\frac{C_1}{2\pi} = R_1$, мы получаем, что $R_2 = k \cdot R_1$. Таким образом, радиус окружности также увеличится в $k$ раз.

Ответ: радиус увеличится в $k$ раз.

б) уменьшить в k раз

Пусть первоначальная длина окружности была $C_1$, а ее радиус — $R_1$. Тогда $R_1 = \frac{C_1}{2\pi}$. Если длину окружности уменьшить в $k$ раз, то новая длина $C_2$ станет равна $C_2 = \frac{C_1}{k}$. Тогда новый радиус $R_2$ будет равен: $R_2 = \frac{C_2}{2\pi} = \frac{C_1/k}{2\pi} = \frac{C_1}{k \cdot 2\pi} = \frac{1}{k} \cdot \left(\frac{C_1}{2\pi}\right)$. Поскольку $\frac{C_1}{2\pi} = R_1$, мы получаем, что $R_2 = \frac{R_1}{k}$. Таким образом, радиус окружности также уменьшится в $k$ раз.

Ответ: радиус уменьшится в $k$ раз.

1193 Найдите длину окружности, описанной около: а) правильного треугольника со стороной а; б) прямоугольного треугольника с катетами a и b; в) равнобедренного треугольника с основанием a и боковой стороной b; г) прямоугольника с меньшей стороной a и острым углом α между диагоналями; д) правильного шестиугольника, площадь которого равна 243 см².

а) Длина окружности вычисляется по формуле $C = 2\pi R$, где $R$ — радиус описанной окружности. Для правильного (равностороннего) треугольника со стороной $a$ радиус описанной окружности $R$ связан со стороной формулой $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$. Подставим это выражение в формулу для длины окружности: $C = 2\pi \cdot \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{2\pi a}{\sqrt{3}}$. Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$: $C = \frac{2\pi a \sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $C = \frac{2\pi a\sqrt{3}}{3}$.

б) Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, находится на середине его гипотенузы, а радиус $R$ равен половине длины гипотенузы $c$. Катеты треугольника равны $a$ и $b$. По теореме Пифагора найдем гипотенузу $c$: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$. Радиус описанной окружности: $R = \frac{c}{2} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2}$. Длина окружности $C = 2\pi R$: $C = 2\pi \cdot \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2} = \pi\sqrt{a^2 + b^2}$.
Ответ: $C = \pi\sqrt{a^2 + b^2}$.

в) Радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами $a, b, c$ и площадью $S$, вычисляется по формуле $R = \frac{abc}{4S}$. В данном случае стороны равнобедренного треугольника равны $a$ (основание), $b$ и $b$ (боковые стороны). Найдем площадь треугольника $S$. Проведем высоту $h$ к основанию $a$. Эта высота делит основание пополам. По теореме Пифагора для полученного прямоугольного треугольника с катетами $h$ и $\frac{a}{2}$ и гипотенузой $b$: $h^2 + (\frac{a}{2})^2 = b^2$, откуда $h = \sqrt{b^2 - \frac{a^2}{4}} = \frac{\sqrt{4b^2 - a^2}}{2}$. Площадь треугольника $S = \frac{1}{2}ah = \frac{1}{2}a \cdot \frac{\sqrt{4b^2 - a^2}}{2} = \frac{a\sqrt{4b^2 - a^2}}{4}$. Теперь найдем радиус описанной окружности: $R = \frac{a \cdot b \cdot b}{4S} = \frac{ab^2}{4 \cdot \frac{a\sqrt{4b^2 - a^2}}{4}} = \frac{b^2}{\sqrt{4b^2 - a^2}}$. Длина окружности $C = 2\pi R$: $C = 2\pi \cdot \frac{b^2}{\sqrt{4b^2 - a^2}} = \frac{2\pi b^2}{\sqrt{4b^2 - a^2}}$.
Ответ: $C = \frac{2\pi b^2}{\sqrt{4b^2 - a^2}}$.

г) Диаметр окружности, описанной около прямоугольника, равен его диагонали $d$. Таким образом, радиус $R = \frac{d}{2}$. Диагонали прямоугольника равны и в точке пересечения делятся пополам. Рассмотрим равнобедренный треугольник, основанием которого является меньшая сторона прямоугольника $a$, а боковыми сторонами — половины диагоналей ($\frac{d}{2}$). Угол при вершине этого треугольника (между диагоналями) равен $\alpha$. Применим к этому треугольнику теорему синусов: $\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{R}{\sin \beta}$, где $\beta$ — угол при основании треугольника, равный $\beta = \frac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$. Тогда $\sin \beta = \sin(90^\circ - \frac{\alpha}{2}) = \cos(\frac{\alpha}{2})$. Подставим в теорему синусов: $\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{R}{\cos(\frac{\alpha}{2})}$. Выразим радиус $R$: $R = \frac{a \cos(\frac{\alpha}{2})}{\sin \alpha}$. Используя формулу синуса двойного угла $\sin \alpha = 2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})$, получим: $R = \frac{a \cos(\frac{\alpha}{2})}{2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})} = \frac{a}{2\sin(\frac{\alpha}{2})}$. Длина окружности $C = 2\pi R$: $C = 2\pi \cdot \frac{a}{2\sin(\frac{\alpha}{2})} = \frac{\pi a}{\sin(\frac{\alpha}{2})}$.
Ответ: $C = \frac{\pi a}{\sin(\frac{\alpha}{2})}$.

д) Радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника, равен его стороне $s$, то есть $R=s$. Правильный шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников со стороной $s$. Площадь одного такого треугольника равна $S_{\triangle} = \frac{s^2\sqrt{3}}{4}$. Площадь всего шестиугольника $S_{шест.} = 6 \cdot S_{\triangle} = 6 \cdot \frac{s^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3s^2\sqrt{3}}{2}$. По условию, площадь равна $24\sqrt{3}$ см?. Приравниваем: $\frac{3s^2\sqrt{3}}{2} = 24\sqrt{3}$. Разделим обе части на $\sqrt{3}$: $\frac{3s^2}{2} = 24$, откуда $3s^2 = 48$, и $s^2 = 16$. Следовательно, сторона шестиугольника $s = 4$ см. Радиус описанной окружности $R = s = 4$ см. Длина окружности $C = 2\pi R = 2\pi \cdot 4 = 8\pi$ см.
Ответ: $C = 8\pi$ см.

1194 Найдите длину окружности, вписанной: а) в квадрат со стороной a; б) в равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой с; в) в прямоугольный треугольник с гипотенузой с и острым углом α; г) в равнобедренный треугольник с углом при основании α и высотой h, проведённой к основанию.

а) Длина окружности вычисляется по формуле $L = 2\pi r$, где $r$ – радиус окружности. Для окружности, вписанной в квадрат со стороной $a$, её диаметр $d$ равен стороне квадрата, то есть $d = a$. Радиус окружности равен половине диаметра: $r = d/2 = a/2$. Следовательно, длина вписанной окружности равна $L = 2\pi \cdot \frac{a}{2} = \pi a$.
Ответ: $\pi a$.

б) Рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой $c$. Его катеты равны. Обозначим их длину через $x$. По теореме Пифагора, $x^2 + x^2 = c^2$, откуда $2x^2 = c^2$, и $x = \frac{c}{\sqrt{2}} = \frac{c\sqrt{2}}{2}$. Радиус $r$ окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами $a_1$, $b_1$ и гипотенузой $c_1$, вычисляется по формуле $r = \frac{a_1 + b_1 - c_1}{2}$. В нашем случае катеты $a_1=b_1=x=\frac{c\sqrt{2}}{2}$ и гипотенуза $c_1=c$. Тогда радиус вписанной окружности равен $r = \frac{\frac{c\sqrt{2}}{2} + \frac{c\sqrt{2}}{2} - c}{2} = \frac{c\sqrt{2} - c}{2} = \frac{c(\sqrt{2}-1)}{2}$. Длина окружности $L = 2\pi r = 2\pi \cdot \frac{c(\sqrt{2}-1)}{2} = \pi c(\sqrt{2}-1)$.
Ответ: $\pi c(\sqrt{2}-1)$.

в) Рассмотрим прямоугольный треугольник с гипотенузой $c$ и острым углом $\alpha$. Катеты этого треугольника можно выразить через гипотенузу и угол $\alpha$: $a = c \sin \alpha$ и $b = c \cos \alpha$. Радиус $r$ вписанной окружности для прямоугольного треугольника находится по формуле $r = \frac{a+b-c}{2}$. Подставим выражения для катетов: $r = \frac{c \sin \alpha + c \cos \alpha - c}{2} = \frac{c(\sin \alpha + \cos \alpha - 1)}{2}$. Длина окружности $L = 2\pi r = 2\pi \cdot \frac{c(\sin \alpha + \cos \alpha - 1)}{2} = \pi c(\sin \alpha + \cos \alpha - 1)$.
Ответ: $\pi c(\sin \alpha + \cos \alpha - 1)$.

г) Рассмотрим равнобедренный треугольник с углом при основании $\alpha$ и высотой $h$, проведённой к основанию. Пусть $AC$ – основание треугольника $ABC$, а $BH=h$ – высота. Центр вписанной окружности, точка $I$, лежит на высоте $BH$, так как высота в равнобедренном треугольнике является и биссектрисой. Радиус вписанной окружности $r$ равен отрезку $IH$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. В нем $\angle BAH = \alpha$. Половина основания $AH$ равна $BH / \tan \alpha = h \cot \alpha$. Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис. Проведём биссектрису $AI$ угла $A$. В прямоугольном треугольнике $AIH$ угол $\angle IAH = \alpha/2$. Из этого треугольника можно выразить радиус: $\tan(\angle IAH) = \frac{IH}{AH}$, то есть $\tan(\alpha/2) = \frac{r}{AH}$. Отсюда $r = AH \tan(\alpha/2)$. Подставим найденное выражение для $AH$: $r = (h \cot \alpha) \tan(\alpha/2) = h \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \tan(\frac{\alpha}{2})$. Используя формулу синуса двойного угла $\sin\alpha = 2\sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2)$, получаем: $r = h \frac{\cos\alpha}{2\sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2)} \frac{\sin(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)} = h \frac{\cos\alpha}{2\cos^2(\alpha/2)}$. Применяя формулу понижения степени $2\cos^2(\alpha/2) = 1+\cos\alpha$, приходим к выражению для радиуса: $r = \frac{h \cos\alpha}{1+\cos\alpha}$. Длина окружности $L = 2\pi r = 2\pi \frac{h \cos\alpha}{1+\cos\alpha}$.
Ответ: $\frac{2\pi h \cos\alpha}{1+\cos\alpha}$.