Номер 1194, страница 307 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

121. Площадь кругового сектора. § 2. Длина окружности и площадь круга. Глава 13. Длина окружности и площадь круга - номер 1194, страница 307.

1194 Найдите длину окружности, вписанной: а) в квадрат со стороной a; б) в равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой с; в) в прямоугольный треугольник с гипотенузой с и острым углом α; г) в равнобедренный треугольник с углом при основании α и высотой h, проведённой к основанию.

а) Длина окружности вычисляется по формуле $L = 2\pi r$, где $r$ – радиус окружности. Для окружности, вписанной в квадрат со стороной $a$, её диаметр $d$ равен стороне квадрата, то есть $d = a$. Радиус окружности равен половине диаметра: $r = d/2 = a/2$. Следовательно, длина вписанной окружности равна $L = 2\pi \cdot \frac{a}{2} = \pi a$.
Ответ: $\pi a$.

б) Рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой $c$. Его катеты равны. Обозначим их длину через $x$. По теореме Пифагора, $x^2 + x^2 = c^2$, откуда $2x^2 = c^2$, и $x = \frac{c}{\sqrt{2}} = \frac{c\sqrt{2}}{2}$. Радиус $r$ окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами $a_1$, $b_1$ и гипотенузой $c_1$, вычисляется по формуле $r = \frac{a_1 + b_1 - c_1}{2}$. В нашем случае катеты $a_1=b_1=x=\frac{c\sqrt{2}}{2}$ и гипотенуза $c_1=c$. Тогда радиус вписанной окружности равен $r = \frac{\frac{c\sqrt{2}}{2} + \frac{c\sqrt{2}}{2} - c}{2} = \frac{c\sqrt{2} - c}{2} = \frac{c(\sqrt{2}-1)}{2}$. Длина окружности $L = 2\pi r = 2\pi \cdot \frac{c(\sqrt{2}-1)}{2} = \pi c(\sqrt{2}-1)$.
Ответ: $\pi c(\sqrt{2}-1)$.

в) Рассмотрим прямоугольный треугольник с гипотенузой $c$ и острым углом $\alpha$. Катеты этого треугольника можно выразить через гипотенузу и угол $\alpha$: $a = c \sin \alpha$ и $b = c \cos \alpha$. Радиус $r$ вписанной окружности для прямоугольного треугольника находится по формуле $r = \frac{a+b-c}{2}$. Подставим выражения для катетов: $r = \frac{c \sin \alpha + c \cos \alpha - c}{2} = \frac{c(\sin \alpha + \cos \alpha - 1)}{2}$. Длина окружности $L = 2\pi r = 2\pi \cdot \frac{c(\sin \alpha + \cos \alpha - 1)}{2} = \pi c(\sin \alpha + \cos \alpha - 1)$.
Ответ: $\pi c(\sin \alpha + \cos \alpha - 1)$.

г) Рассмотрим равнобедренный треугольник с углом при основании $\alpha$ и высотой $h$, проведённой к основанию. Пусть $AC$ – основание треугольника $ABC$, а $BH=h$ – высота. Центр вписанной окружности, точка $I$, лежит на высоте $BH$, так как высота в равнобедренном треугольнике является и биссектрисой. Радиус вписанной окружности $r$ равен отрезку $IH$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. В нем $\angle BAH = \alpha$. Половина основания $AH$ равна $BH / \tan \alpha = h \cot \alpha$. Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис. Проведём биссектрису $AI$ угла $A$. В прямоугольном треугольнике $AIH$ угол $\angle IAH = \alpha/2$. Из этого треугольника можно выразить радиус: $\tan(\angle IAH) = \frac{IH}{AH}$, то есть $\tan(\alpha/2) = \frac{r}{AH}$. Отсюда $r = AH \tan(\alpha/2)$. Подставим найденное выражение для $AH$: $r = (h \cot \alpha) \tan(\alpha/2) = h \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \tan(\frac{\alpha}{2})$. Используя формулу синуса двойного угла $\sin\alpha = 2\sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2)$, получаем: $r = h \frac{\cos\alpha}{2\sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2)} \frac{\sin(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)} = h \frac{\cos\alpha}{2\cos^2(\alpha/2)}$. Применяя формулу понижения степени $2\cos^2(\alpha/2) = 1+\cos\alpha$, приходим к выражению для радиуса: $r = \frac{h \cos\alpha}{1+\cos\alpha}$. Длина окружности $L = 2\pi r = 2\pi \frac{h \cos\alpha}{1+\cos\alpha}$.
Ответ: $\frac{2\pi h \cos\alpha}{1+\cos\alpha}$.