Номер 1164, страница 293 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Скалярное произведение векторов. Глава 12. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов - номер 1164, страница 293.

1164 В треугольнике ABC отрезок AD — биссектриса, отрезок AM — медиана, b=AC, с=AB. Докажите, что:

$\text{а)} AD=\frac{2bc}{b+c}\sqrt{\frac{1+\cos A}{2}};$

$\text{б)} AM=\frac{1}{2}\sqrt{b^2+c^2+2bc \cos A}.$

a)

Для доказательства воспользуемся методом площадей. Площадь треугольника $ABC$ равна сумме площадей треугольников $ABD$ и $ACD$, на которые его разбивает биссектриса $AD$.

Площадь треугольника $ABC$ можно выразить через две стороны и угол между ними: $S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin A = \frac{1}{2} bc \sin A$.

Поскольку $AD$ — биссектриса угла $A$, то $\angle BAD = \angle CAD = \frac{A}{2}$. Площади треугольников $ABD$ и $ACD$ равны: $S_{ABD} = \frac{1}{2} AB \cdot AD \cdot \sin(\angle BAD) = \frac{1}{2} c \cdot AD \cdot \sin\frac{A}{2}$.
$S_{ACD} = \frac{1}{2} AC \cdot AD \cdot \sin(\angle CAD) = \frac{1}{2} b \cdot AD \cdot \sin\frac{A}{2}$.

Теперь приравняем площадь большого треугольника к сумме площадей двух меньших: $S_{ABC} = S_{ABD} + S_{ACD}$
$\frac{1}{2} bc \sin A = \frac{1}{2} c \cdot AD \cdot \sin\frac{A}{2} + \frac{1}{2} b \cdot AD \cdot \sin\frac{A}{2}$.

Умножим обе части на 2 и вынесем $AD \cdot \sin\frac{A}{2}$ за скобки в правой части: $bc \sin A = AD \cdot (b+c) \sin\frac{A}{2}$.

Выразим $AD$: $AD = \frac{bc \sin A}{(b+c) \sin\frac{A}{2}}$.

Используем формулу синуса двойного угла $\sin A = 2 \sin\frac{A}{2}\cos\frac{A}{2}$: $AD = \frac{bc \cdot 2 \sin\frac{A}{2}\cos\frac{A}{2}}{(b+c) \sin\frac{A}{2}}$.

Сократим $\sin\frac{A}{2}$ (так как угол $A$ в треугольнике, то $0 < A < 180^\circ$, следовательно $\sin\frac{A}{2} \neq 0$): $AD = \frac{2bc}{b+c} \cos\frac{A}{2}$.

Теперь воспользуемся формулой половинного угла для косинуса: $\cos\frac{A}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos A}{2}}$ (косинус половинного угла в треугольнике положителен). Подставим это выражение в формулу для $AD$: $AD = \frac{2bc}{b+c} \sqrt{\frac{1 + \cos A}{2}}$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: $AD = \frac{2bc}{b+c}\sqrt{\frac{1+\cos A}{2}}$.

б)

Для нахождения длины медианы $AM$ воспользуемся методом достроения до параллелограмма.

Продлим медиану $AM$ за точку $M$ на ее длину до точки $K$, так что $AM = MK$. Рассмотрим четырехугольник $ABKC$. Его диагонали $AK$ и $BC$ пересекаются в точке $M$. По построению, $M$ — середина $AK$. По определению медианы, $M$ — середина $BC$. Так как диагонали четырехугольника $ABKC$ пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то $ABKC$ — параллелограмм.

В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому $BK = AC = b$ и $CK = AB = c$. Также, сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Следовательно, $\angle ABK + \angle BAC = 180^\circ$, откуда $\angle ABK = 180^\circ - A$.

Рассмотрим треугольник $ABK$. Две его стороны и угол между ними известны: $AB=c$, $BK=b$, $\angle ABK = 180^\circ - A$. Третья сторона $AK = AM + MK = 2AM$. Применим к треугольнику $ABK$ теорему косинусов: $AK^2 = AB^2 + BK^2 - 2 \cdot AB \cdot BK \cdot \cos(\angle ABK)$.

Подставим известные значения: $(2AM)^2 = c^2 + b^2 - 2cb \cos(180^\circ - A)$.

Используя тригонометрическое тождество $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha$, получаем: $4AM^2 = b^2 + c^2 - 2bc(-\cos A)$
$4AM^2 = b^2 + c^2 + 2bc \cos A$.

Выразим $AM$: $AM^2 = \frac{b^2 + c^2 + 2bc \cos A}{4}$.
$AM = \sqrt{\frac{b^2 + c^2 + 2bc \cos A}{4}} = \frac{1}{2}\sqrt{b^2 + c^2 + 2bc \cos A}$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: $AM = \frac{1}{2}\sqrt{b^2+c^2+2bc \cos A}$.