Номер 1159, страница 292 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 12. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. Параграф 3. Скалярное произведение векторов. Дополнительные задачи - номер 1159, страница 292.

Условие.

1159 В трапеции ABCD с основаниями AD = 16 см и ВС = 8 см боковая сторона равна 47 cм, а ∠ADC = 60°. Через вершину С проведена прямая l, делящая трапецию на два многоугольника, площади которых равны. Найдите площадь трапеции и длину отрезка прямой l, заключённого внутри трапеции.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 11.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, где $AD=16$ см, $BC=8$ см, и $\angle ADC = 60^\circ$. В условии сказано, что одна из боковых сторон равна $4\sqrt{7}$ см. Это может быть как сторона $AB$, так и $CD$. Чтобы однозначно определить параметры трапеции, рассмотрим оба варианта.

Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ к основанию $AD$. В прямоугольном треугольнике $CHD$ катет $CH$ является высотой трапеции $h$, а катет $HD$ — проекцией стороны $CD$ на основание $AD$.

$h = CH = CD \cdot \sin(\angle ADC) = CD \cdot \sin(60^\circ) = CD \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$HD = CD \cdot \cos(\angle ADC) = CD \cdot \cos(60^\circ) = CD \cdot \frac{1}{2}$

Проведем также высоту $BP$ из вершины $B$ к основанию $AD$. Так как $BC$ параллельно $AD$ и $BP$, $CH$ — высоты, то $BCHP$ — прямоугольник, и $PH = BC = 8$ см.Тогда $AP = AD - PH - HD = 16 - 8 - HD = 8 - HD$.В прямоугольном треугольнике $APB$ по теореме Пифагора:$AB^2 = AP^2 + BP^2 = (8 - HD)^2 + h^2$.Подставим выражения для $h$ и $HD$ через $CD$:$AB^2 = (8 - \frac{CD}{2})^2 + (\frac{CD\sqrt{3}}{2})^2 = 64 - 8 \cdot CD + \frac{CD^2}{4} + \frac{3CD^2}{4} = CD^2 - 8 \cdot CD + 64$.

Теперь проверим два возможных случая:

1. Если $CD = 4\sqrt{7}$ см, то $AB^2 = (4\sqrt{7})^2 - 8(4\sqrt{7}) + 64 = 112 - 32\sqrt{7} + 64 = 176 - 32\sqrt{7}$. Этот вариант приводит к сложным вычислениям.
2. Если $AB = 4\sqrt{7}$ см, то $AB^2 = 112$. Получаем уравнение для $CD$: $112 = CD^2 - 8 \cdot CD + 64$ $CD^2 - 8 \cdot CD - 48 = 0$. Решим это квадратное уравнение относительно $CD$: $D = (-8)^2 - 4(1)(-48) = 64 + 192 = 256 = 16^2$. $CD = \frac{8 \pm 16}{2}$. Так как длина стороны не может быть отрицательной, выбираем корень со знаком плюс: $CD = \frac{8 + 16}{2} = 12$ см.

Этот результат показывает, что второй случай является верной интерпретацией условия задачи. Таким образом, в трапеции $ABCD$ боковая сторона $AB = 4\sqrt{7}$ см, а боковая сторона $CD = 12$ см.

Найдите площадь трапеции

Для нахождения площади трапеции нам нужна ее высота $h$. Мы можем найти ее из прямоугольного треугольника $CHD$, зная сторону $CD=12$ см и угол $\angle ADC = 60^\circ$.Высота трапеции $h$ равна катету $CH$:$h = CH = CD \cdot \sin(60^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см.

Площадь трапеции $S_{ABCD}$ вычисляется по формуле:$S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2} \cdot h$Подставляем известные значения:$S_{ABCD} = \frac{16 + 8}{2} \cdot 6\sqrt{3} = \frac{24}{2} \cdot 6\sqrt{3} = 12 \cdot 6\sqrt{3} = 72\sqrt{3}$ см².

Ответ: Площадь трапеции равна $72\sqrt{3}$ см².

Найдите длину отрезка прямой l, заключённого внутри трапеции

Прямая $l$ проходит через вершину $C$ и делит трапецию на два многоугольника равной площади. Площадь каждого многоугольника равна половине площади трапеции:$S_{часть} = \frac{S_{ABCD}}{2} = \frac{72\sqrt{3}}{2} = 36\sqrt{3}$ см².

Так как прямая проходит через $C$, она может пересекать либо боковую сторону $AB$, либо основание $AD$. Если бы прямая $l$ пересекала сторону $AB$ в точке $M$, она бы отсекала треугольник $BCM$. Площадь треугольника $ABC$ равна $S_{ABC} = S_{ABCD} - S_{ADC} = 72\sqrt{3} - \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 6\sqrt{3} = 72\sqrt{3} - 48\sqrt{3} = 24\sqrt{3}$ см². Площадь отсекаемой части $S_{BCM}$ не может быть больше $S_{ABC}$, то есть $S_{BCM} \le 24\sqrt{3}$ см². А нам нужна площадь $36\sqrt{3}$ см². Следовательно, прямая $l$ пересекает основание $AD$.

Пусть прямая $l$ пересекает основание $AD$ в точке $K$. Отрезок прямой $l$, заключенный внутри трапеции, — это отрезок $CK$. Прямая делит трапецию на треугольник $CKD$ и четырехугольник $ABCK$.Площадь треугольника $CKD$ должна быть равна $36\sqrt{3}$ см².$S_{CKD} = \frac{1}{2} \cdot KD \cdot h = 36\sqrt{3}$$\frac{1}{2} \cdot KD \cdot 6\sqrt{3} = 36\sqrt{3}$$3\sqrt{3} \cdot KD = 36\sqrt{3}$$KD = \frac{36\sqrt{3}}{3\sqrt{3}} = 12$ см.

Теперь найдем длину отрезка $CK$. Рассмотрим треугольник $CKD$. Нам известны две его стороны $CD = 12$ см, $KD = 12$ см и угол между ними $\angle KDC = \angle ADC = 60^\circ$.Поскольку треугольник $CKD$ является равнобедренным ($CD=KD$) с углом $60^\circ$ между равными сторонами, он является равносторонним.Следовательно, все его стороны равны 12 см, и $CK = 12$ см.Это также можно проверить по теореме косинусов:$CK^2 = CD^2 + KD^2 - 2 \cdot CD \cdot KD \cdot \cos(60^\circ)$$CK^2 = 12^2 + 12^2 - 2 \cdot 12 \cdot 12 \cdot \frac{1}{2}$$CK^2 = 144 + 144 - 144 = 144$$CK = \sqrt{144} = 12$ см.

Ответ: Длина отрезка прямой $l$, заключённого внутри трапеции, равна 12 см.