Номер 1154, страница 292 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Скалярное произведение векторов. Глава 12. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов - номер 1154, страница 292.

1154 Докажите, что треугольник с вершинами A (3; 0), B (1; 5) и C (2; 1) тупоугольный. Найдите косинус тупого угла.

Докажите, что треугольник с вершинами A(3; 0), B(1; 5) и C(2; 1) тупоугольный.

Чтобы определить вид треугольника, найдем квадраты длин его сторон. Квадрат расстояния $d^2$ между двумя точками с координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.

1. Найдем квадрат длины стороны $AB$ (между точками A(3; 0) и B(1; 5)):
$AB^2 = (1 - 3)^2 + (5 - 0)^2 = (-2)^2 + 5^2 = 4 + 25 = 29$.

2. Найдем квадрат длины стороны $BC$ (между точками B(1; 5) и C(2; 1)):
$BC^2 = (2 - 1)^2 + (1 - 5)^2 = 1^2 + (-4)^2 = 1 + 16 = 17$.

3. Найдем квадрат длины стороны $AC$ (между точками A(3; 0) и C(2; 1)):
$AC^2 = (2 - 3)^2 + (1 - 0)^2 = (-1)^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$.

Согласно следствию из теоремы косинусов, если в треугольнике квадрат одной стороны больше суммы квадратов двух других сторон, то угол, противолежащий этой стороне, является тупым, и сам треугольник — тупоугольным.

Сравним квадрат наибольшей стороны $AB^2$ с суммой квадратов двух других сторон $BC^2 + AC^2$:
$AB^2 = 29$
$BC^2 + AC^2 = 17 + 2 = 19$

Поскольку $29 > 19$, то выполняется неравенство $AB^2 > BC^2 + AC^2$. Это означает, что угол, лежащий напротив стороны $AB$, то есть угол $C$, является тупым. Следовательно, треугольник $ABC$ — тупоугольный.

Ответ: Неравенство $AB^2 > BC^2 + AC^2$ выполняется, что доказывает, что треугольник тупоугольный.

Найдите косинус тупого угла.

Мы установили, что тупым является угол $C$. Для нахождения его косинуса воспользуемся теоремой косинусов для стороны $AB$: $AB^2 = BC^2 + AC^2 - 2 \cdot BC \cdot AC \cdot \cos(\angle C)$

Выразим из этой формулы $\cos(\angle C)$:
$\cos(\angle C) = \frac{BC^2 + AC^2 - AB^2}{2 \cdot BC \cdot AC}$

Из предыдущего пункта мы знаем значения квадратов сторон: $AB^2 = 29$, $BC^2 = 17$ и $AC^2 = 2$. Найдем длины сторон $BC$ и $AC$, взяв корень из их квадратов:
$BC = \sqrt{17}$
$AC = \sqrt{2}$

Подставим все известные значения в формулу для косинуса:
$\cos(\angle C) = \frac{17 + 2 - 29}{2 \cdot \sqrt{17} \cdot \sqrt{2}} = \frac{19 - 29}{2\sqrt{34}} = \frac{-10}{2\sqrt{34}} = -\frac{5}{\sqrt{34}}$

Отрицательное значение косинуса подтверждает, что угол $C$ является тупым.

Ответ: $-\frac{5}{\sqrt{34}}$.