Номер 1149, страница 292 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Скалярное произведение векторов. Глава 12. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов - номер 1149, страница 292.

1149 Используя теорему синусов, решите треугольник ABC, если:
а) AB = 8 см, ∠А = 30°, ∠B = 45°;
б) AB = 5 см, ∠B = 45°, ∠C = 60°;
в) AB = 3 см, ВС = 3,3 см, ∠А = 48°30′;
г) AC = 10,4 см, ВС = 5,2 см, ∠B = 62°48′.

а)

Дано: треугольник $ABC$, сторона $AB = c = 8$ см, $\angle A = 30^\circ$, $\angle B = 45^\circ$.

Решение:

1. Найдем третий угол $\angle C$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому:

$\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (30^\circ + 45^\circ) = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$.

2. Используем теорему синусов для нахождения сторон $AC$ (сторона $b$) и $BC$ (сторона $a$):

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

$\frac{BC}{\sin 30^\circ} = \frac{AC}{\sin 45^\circ} = \frac{8}{\sin 105^\circ}$

3. Найдем сторону $BC$:

$BC = \frac{8 \cdot \sin 30^\circ}{\sin 105^\circ}$. Используем значения синусов: $\sin 30^\circ = 0.5$ и $\sin 105^\circ \approx 0.966$.

$BC \approx \frac{8 \cdot 0.5}{0.966} = \frac{4}{0.966} \approx 4.14$ см.

4. Найдем сторону $AC$:

$AC = \frac{8 \cdot \sin 45^\circ}{\sin 105^\circ}$. Используем значения синусов: $\sin 45^\circ \approx 0.707$ и $\sin 105^\circ \approx 0.966$.

$AC \approx \frac{8 \cdot 0.707}{0.966} \approx \frac{5.656}{0.966} \approx 5.86$ см.

Ответ: $\angle C = 105^\circ$, $BC \approx 4.14$ см, $AC \approx 5.86$ см.

б)

Дано: треугольник $ABC$, сторона $AB = c = 5$ см, $\angle B = 45^\circ$, $\angle C = 60^\circ$.

Решение:

1. Найдем третий угол $\angle A$:

$\angle A = 180^\circ - (\angle B + \angle C) = 180^\circ - (45^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ$.

2. Используем теорему синусов:

$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C}$

$\frac{BC}{\sin 75^\circ} = \frac{AC}{\sin 45^\circ} = \frac{5}{\sin 60^\circ}$

3. Найдем сторону $BC$ (сторона $a$):

$BC = \frac{5 \cdot \sin 75^\circ}{\sin 60^\circ}$. Используем значения: $\sin 75^\circ \approx 0.966$ и $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$.

$BC \approx \frac{5 \cdot 0.966}{0.866} = \frac{4.83}{0.866} \approx 5.58$ см.

4. Найдем сторону $AC$ (сторона $b$):

$AC = \frac{5 \cdot \sin 45^\circ}{\sin 60^\circ}$. Используем значения: $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707$ и $\sin 60^\circ \approx 0.866$.

$AC \approx \frac{5 \cdot 0.707}{0.866} = \frac{3.535}{0.866} \approx 4.08$ см.

Ответ: $\angle A = 75^\circ$, $BC \approx 5.58$ см, $AC \approx 4.08$ см.

в)

Дано: треугольник $ABC$, сторона $AB = c = 3$ см, $BC = a = 3.3$ см, $\angle A = 48^\circ 30'$.

Решение:

1. Преобразуем градусы и минуты в десятичные градусы: $\angle A = 48^\circ 30' = 48.5^\circ$.

2. Используем теорему синусов для нахождения $\angle C$:

$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C}$

$\frac{3.3}{\sin 48.5^\circ} = \frac{3}{\sin C}$

$\sin C = \frac{3 \cdot \sin 48.5^\circ}{3.3}$. Используем значение $\sin 48.5^\circ \approx 0.749$.

$\sin C \approx \frac{3 \cdot 0.749}{3.3} \approx 0.681$.

Отсюда $\angle C = \arcsin(0.681) \approx 42.92^\circ$. Вторая возможная величина угла $180^\circ - 42.92^\circ = 137.08^\circ$. Проверим, возможен ли второй случай: $\angle A + \angle C_2 = 48.5^\circ + 137.08^\circ = 185.58^\circ > 180^\circ$. Этот случай невозможен, значит, решение единственное.

Преобразуем $\angle C \approx 42.92^\circ$ в градусы и минуты: $0.92^\circ \cdot 60 \approx 55'$. Таким образом, $\angle C \approx 42^\circ 55'$.

3. Найдем третий угол $\angle B$:

$\angle B = 180^\circ - (\angle A + \angle C) \approx 180^\circ - (48^\circ 30' + 42^\circ 55') = 180^\circ - 91^\circ 25' = 88^\circ 35'$.

4. Найдем сторону $AC$ (сторона $b$) по теореме синусов:

$\frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A}$

$AC = \frac{BC \cdot \sin B}{\sin A} \approx \frac{3.3 \cdot \sin 88.58^\circ}{\sin 48.5^\circ} \approx \frac{3.3 \cdot 0.9997}{0.749} \approx 4.41$ см.

Ответ: $\angle C \approx 42^\circ 55'$, $\angle B \approx 88^\circ 35'$, $AC \approx 4.41$ см.

г)

Дано: треугольник $ABC$, сторона $AC = b = 10.4$ см, $BC = a = 5.2$ см, $\angle B = 62^\circ 48'$.

Решение:

1. Преобразуем градусы и минуты в десятичные градусы: $\angle B = 62^\circ 48' = 62.8^\circ$.

2. Используем теорему синусов для нахождения $\angle A$:

$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}$

$\frac{5.2}{\sin A} = \frac{10.4}{\sin 62.8^\circ}$

$\sin A = \frac{5.2 \cdot \sin 62.8^\circ}{10.4} = \frac{1}{2}\sin 62.8^\circ$. Используем значение $\sin 62.8^\circ \approx 0.8894$.

$\sin A \approx 0.5 \cdot 0.8894 = 0.4447$.

Отсюда $\angle A = \arcsin(0.4447) \approx 26.4^\circ$. Вторая возможная величина угла $180^\circ - 26.4^\circ = 153.6^\circ$. Проверим, возможен ли второй случай: $\angle B + \angle A_2 = 62.8^\circ + 153.6^\circ = 216.4^\circ > 180^\circ$. Этот случай невозможен, значит, решение единственное.

Преобразуем $\angle A \approx 26.4^\circ$ в градусы и минуты: $0.4 \cdot 60' = 24'$. Таким образом, $\angle A \approx 26^\circ 24'$.

3. Найдем третий угол $\angle C$:

$\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) \approx 180^\circ - (26^\circ 24' + 62^\circ 48') = 180^\circ - 89^\circ 12' = 90^\circ 48'$.

4. Найдем сторону $AB$ (сторона $c$) по теореме синусов:

$\frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B}$

$AB = \frac{AC \cdot \sin C}{\sin B} \approx \frac{10.4 \cdot \sin 90.8^\circ}{\sin 62.8^\circ} \approx \frac{10.4 \cdot 0.9999}{0.8894} \approx 11.69$ см.

Ответ: $\angle A \approx 26^\circ 24'$, $\angle C \approx 90^\circ 48'$, $AB \approx 11.69$ см.